导数公式推导过程

令狐女性宫寒调理方法 采学创作

导数的定义：f'(x)=limy/x

令狐采学

x→0（下面就不再标明x→0了）

用定义求导数公式

（1）f(x)=x^n

证法一：（n为自然数）

f'(x)

=lim[(x+x)^n-x^n]/x

=lim

(x+x-x)[(x+x)^(n-1)+x*(x+x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+x)+x^(n-1

)]/x

=lim[(x+x)^(n-1)+x*(x+x)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+x)+x^(n-1)]

=x^(n-1)+x*x^(n专业描述怎么写 -2)+x^2*x^(n-3)+...x^(n-2)*x+x^(n-1)

=nx^(n-1)

证法二：（n为任意实数）

令狐采学创作

令狐采学创作

f(x)=x^n

lnf(x)=nlnx

(lnf(x))'=(nlnx)'

f'(x)/f(x)=n/x

f'(x)=n/x*f(x)

f'(x)=n/x*x^n

f'(x)=nx^(n-1)

（2）f(x)=sinx

f'(x)

=lim(sin(x+x)-sinx)/x

=lim(sinxcosx+cosxsinx-sinx)/x

=lim(sinx+cosxsinx-sinx)/x

=limcosxsinx/x

=cosx

（3喇叭裤配什么上衣 ）f(x)=cosx

f'(x)

令狐采学创作

令狐采学创作

=lim(cos(x+x)-cosx)/x

=lim(cosxcosx-sinxsinx-cosx)/x

=lim(cosx-sinxsinx-cos)/x

=lim-sinxsinx/x

=-sinx

（4）f(x)=a^x

证法一：

f'(x)

=lim(a^(x+x)-a^x)/x

=lima^x*(a^x-1)/x

（设a^x-1=m，则x=loga^(m+1)）

=lima^x*m/loga^(m+1)

=lima^x*m/[ln(m+1)/lna]

=lima^x*lna*m/ln(m+1)

=lima^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]

=lima^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]

令狐采学创作

令狐采学创作

=lima^x*lna/lne

=a^x*lna

证法二：

f(x)=a^x

lnf(x)=xlna

[lnf(x)]'=[xlna]'

f'(x)/f(x)=lna

f'(x)=f(x)lna

f'(x)=a^xlna

若a=e，原函数f(x)=e^x

则f'(x)=e^x*lne=e^x

（5）f(x)=loga^x

f'(x)

=lim(loga^(x+x)-loga^x)/x

=limloga^[(x+x)/x]/x

=limloga^(1+x/x)/x

令狐采学创作

令狐采学创作

=limln(1+x/x)/(lna*x)

=limx*ln(1+x/x)/(x*lna*x)

=lim(x/x)*ln(1+x/x)/(x*lna)

=limln[(1+x/x)^(x/x)]/(x*lna)

=limlne/(x*lna)

=1/(x*lna)

若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx

则f'(x)=1/(x*lne)=1/x

（6）f(x)=tanx

f'(x)

=lim(高平十大碗 tan(x+x)-tanx)/x

=lim(sin(x+x)/cos(x+x)-sinx/cosx)/x

=lim(sin(x+x)cosx-sinxcos(x+x)/(xcosxcos(x+x))

=lim

(sinxcosxcosx+sinxcosxcosx-sinxcosxcosx+sinxsinxsinx)/(xc

osxcos(x+x))

令狐采学创作六年级好词好句好段摘抄大全

令狐采学创作

=limsinx/(xcosxcos(x+x))

=1/(cosx)^2=cx/cosx=(cx)^2=1+(tanx)^2

（7）f(x)=cotx

f'(x)

=lim(cot(x+x)-cotx)/x

=lim(cos(x+x)/sin(x+x)-cosx/sinx)/x

=lim(cos(x+x)sinx-cosxsin(x+x))/(xsinxsin(x+x))

=巴西国土面积 lim

(cosxcosxsinx-sinxsinxsinx-cosxsinxcosx-cosxsinxcosx)/(xsin

xsin(x+x))

=lim-sinx/(xsinxsin(x+x))

=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(cx)^2=-1-(cotx)^2

（8）f(x)=cx

f'(x)

=lim(c(x+x)-cx)/x

=lim(1/cos(x+x)-1/cosx)/x

令狐采学创作

令狐采学创作

=lim(cosx-cos(x+x)/(xcosxcosx)

=lim(cosx-cosxcosx+sinxsinx)/(xcosxcos(x+x))

=limsinxsinx/(xcosxcos(x+x))

=sinx/(cosx)^2=tanx*cx

（9）f(x)=cscx

f'(x)

=lim(csc(x+x)-cscx)/x

=lim(1/sin(x+x)-1/sinx)/x

=lim(sinx-sin(x+x))/(xsinxsin(x+x))

=lim(sinx-sinxcosx-sinxcosx)/(xsinxsin(x+x))

=lim-sinxcosx/(xsinxsin(x+x))

=-cosx/(sinx)^2=-cotx*cscx

（10）f(x)=x^x

lnf(x)=xlnx

(lnf(x))'=(xlnx)'

f'(x)/f(x)=lnx+1

令狐采学创作

令狐采学创作

f'(x)=(lnx+1)*f(x)

f'(x)=(lnx+1)*x^x

（12）h(x)=f(x)g(x)

h'(x)

=lim(f(x+x)g(x+x)-f(x)g(x))/x

=lim[(f(x+x)-f(x)+f(x))*g(x+x)+(g(x+x)-g(x)-g(x+x))*f(x)]/x

=lim

[(f(x+x)-f(x))*g(x+x)+(g(x+x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+x)-f(x)*g(x+

x)]/x

=lim(f(x+x)-f(x))*g(x+x)/x+(g(x+x)-g(x))*f(x)/x

=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

（13）h(x)=f(x)/g(x)

h'(x)

=lim(f(x+x)/g(x+x)-f(x)g(x))/x

=lim(f(x+x)g(x)-f(x)g(x+x))/(xg(x)g(x+x))

=lim

[(f(x+x)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+x)-g(x)+g(x))*f(x)]/(xg(x)g(x+x))

令狐采学创作

令狐采学创作

=lim

[(f(x+x)-f(x))*g(x)-(g(x+x)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(xg(x)g(x

+x))

=lim

(f(x+x)-f(x))*g(x)/(xg(x)g(x+x))-(g(x+x)-g(x))*f(x)/(xg(x)g(x+

x))

=f'(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'(x)/(g(x)*g(x))

=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))x

（14）h(x)=f(g(x))

h'(x)

=lim[f(g(x+x))-f(g(x))]/x

=lim[f(g(x+x)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/x

（另g(x)=u，g(x+x)-g(x)=u）

=lim(f(u+u)-f儿童智力游戏 (u))/x

=lim(f(u+u)-f(u))*u/(x*u)

=limf'(u)*u/x

=limf'(u)*(g(x+x)-g(x))/x

令狐采学创作

令狐采学创作

=f'(u)*g'(x)=f'(g(x))g'(x)

(反三角函数的导数与三角函数的导数的乘积为1，因为函数与

反函数关于y=x对称，所以导数也关于y=x对称，所以导数的

乘积为1)

（15）y=f(x)=arcsinx

则siny=x

(siny)'=cosy

所以

(arcsinx)'=1/(siny)'=1/cosy

=1/√1-(siny)^2

(siny=x)

=1/√1-x^2

即f'(x)=1/√1-x^2

(16)y=f(x)=arctanx

则tany=x

(tany)'=1+(tany)^2=1+x^2

所以

(arctanx)'=1/1+x^2

即f'(x)=1/1+x^2

总结一下

（x^n）'=nx^(n-1)

令狐采学创作

令狐采学创作

（sinx）'=cosx

（cosx）'=-sinx

（a^x）'=a^xlna

（e^x）'=e^x

（loga^x）'=1/(xlna)

（lnx）'=1/x

(tanx)'=(cx)^2=1+(tanx)^2

(cotx)'=-(cscx)^2=-1-(cotx)^2

(cx)'=tanx*cx

(cscx)'=-cotx*cscx

(x^x)'=(lnx+1)*x^x

(arcsinx)'=1/√1-x^2

(arctanx)'=1/1+x^2

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/(g(x)*g(x))

[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)

令狐采学创作