南靖一中

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《等比数列的前n项和》

南靖一中：曾燕华

一、教学容分析

1.在教材中的地位与作用

在《数列》一章中，《等比数列的前n项和》是一项重要的基础容，从知

识体系来看，它不仅是《等差数列的前n项和》与《等比数列》的顺延，也是

前面所学《函数》的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习

提供了知识基础，错位相减法是一种重头尖 要的数学思想方法，是求解一类混合数

列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文

价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，

可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n项和公式的探究

与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索

精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它

是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中

蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常

出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期

付款的有关计算等，而且公式推导过程中生气地英语 所渗透的类比、化归、分类讨论、整

体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。

2．教材编排与课时安排

提出问题→问题解决→等比数列前n项和公式推导→强化公式运用（例题

与练习）。

教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分容授课时间2课时，本

节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教

学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和在联系。

二、学生学习情况分析

从学生的思维特点看，很容易把本节容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的

.....

....

推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个

突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使

用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问

题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽

管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。

三、设计思想

《新课程改革纲要》提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬

背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜

集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作

的能力”。对这一目标本人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独

立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，9~22岁的学生正处于创新思维的

培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势利导，培养学

生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师

生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。

四、教学目标

理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上

能初步应用公式解决与之有关的问题。

通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、

分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆

向思维的能力。通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗

透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

五、教学重点、难点

教学重点是

公式的推导、公式的特点和公式的运用。

教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错

位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数

学思想，所以既是重点也是难点。

教学准备：

.....

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包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等

1.全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）

2.普通高中课程标准教科书数学（必修）5及配套光盘

3.两种教材的主要差异对比

六、教学过程设计：

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让

学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学

过程：

复习：

首先回忆一下前两节课所学主要容：

1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，

那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。

公比通常用字母

q

表示（

q

≠0），即：

｛

a

n

｝成等比数列

a

n1

=

q

（

nN

,

q

≠0）

an

“

a

n

≠0”是数列｛

a

n

｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。

2

.等比数列的通项公式:

a

n

a

1

q

n1

(a

1

q0)

，

a

n

a

m

q

m1

(a

1

q0)

3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．

4．等比中项

：

G

为

a

与

b

的等比中项.即

G

=

ab

（

a

,

b

同号）.

5．性质

：若m+n=p+q，

a

m

a

n

a

p

a

q

6．判断等比数列的方法

：定义成都民俗 法，中项法，通项公式法

（一）创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞

赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，

第一格放1粒小麦，第二格删除垃圾 放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的

两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为

什么呢？

【设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，

调动学习的积极性。故事容紧扣本节课的主题与重点。

.....

....

此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦

粒总数。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们

1+2+2

2

+2

3

++2

63

想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予

肯定。

【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间

让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖

学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么

不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应

舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难

的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的

教学埋下伏笔。

（二）师生互动，探究问题

1+2+2+2++2

在肯定他们的思路后，我接着问：是什么数列？有何

2

3

63

特征？

1+2+2

2

+2

3

++2

63

应归结为什么数学问题呢？

S

64

=1+长征朗诵 2+2+2++2

【学情预设】：探讨1：设，记为（1）式，注

2

3

63

意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，

（1）式两边同乘以2则有

2S

64

=2+2

2

+2

3

++2

63

+2

64

，记为（2）式。

比较（1）(2）两式，你有什么发现？

【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推

导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来

却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的

辩证思维能力的良好契机。经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有

许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：

S2

64

1。老师指

64

出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要

同乘以2呢？

【设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：

真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强

学习数学的兴趣和学好数学的信心。

.....

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（三）类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列

{a

n

}

，首项为

a

1

，公比为

q

，如何求前n项和

S

n

？这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后

对个别学生进行指导。

【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，

步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

【学情预设】：在学生推导完成后牛的单词 ，我再问：由

(1-q)s

n

=a

1

-a

1

q

n得

a

1

-a

1

qn

s

n

=

对不对？这里的

q

能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？

1-q

q1

时是什么数列？此时

S

n



？（这里引导学生对

q进行分类讨论，得出公式，

同时为后面的例题教学打下基础。）再次追问：结合等比数列的通项公式

a

n

a

1

q

n1

,如何把

S

n

用

a

1

、

a

n

、

q

表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）

【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知

识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而

进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较

少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。

（四）变式训练,深化认识

24816

63

变式1、等比数列

1

,

1

,

1

,

1

,

前多少项的和是；

2481664

变式2、等比数列

1

,

1

,

1

,

1

,

求第5项到第10项的和；

24816

变式3、等比数列

1

,

1

,

1

,

1

,

求前2n项中所有偶数项的和。

24816

例1：求等比数列

1

,

1

,

1

,

1

,

前8项和；

首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，

.....

....

其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。

【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，

通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促

进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以

此培养学生的参与意识和竞争意识。

（五）课堂练习

3、远望巍巍塔七层,红光点点倍自增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?

【设计意图】：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意

培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。

（六）总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回

答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。

【设计意图】：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

（七）故事结束，首尾呼应

最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为

1.8410

19

粒，大约7000亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽

10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑

现不了他的承诺。

同学们有什么办法帮助国王吗？

让西萨自己去数他要的麦粒，事实上，假如他一秒钟数一粒，数完这

些麦粒所需时间约是5800亿年。

【设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继

续积极思维。

（八）课后作业，分层练习

.....

....

必做：P58练习1、2

选作：思考题

（1）

能否用其他方法推导等比数列前

n

项和公式;

（2）求和

x+2x

2

+3x

3+

+nx

n

.

【设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力

的学生有思考的空间。

七、板书设计

等比数列前n项和

一、引入新课

二、公式的推导

a

1

-a

1

qn

s

n

=

例1：

1-q

例2：

八、教学反思：

对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握动漫女生全身 公式的推导方法，

理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题――

探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规

律四个阶段。

九、教学设计说明

问题情境故事化。采用语音动画形式叙述故事来创设问题情景，意在营造

和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通

过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想

方法，为进一步学习奠定基石。

问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充

分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学

习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成

功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借

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助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识

的理解。

巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练

习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的

结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加

强对数学思想方法的感悟。

板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上，有助于学生的阅

读和理解，即时在黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，

方便学生作笔记。

通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n

项和公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；

等比定理：回归定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的

数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精

讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础

上，通过和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培

养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。

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