统计学的研究对象

阅读材料:1、概率论与数理统计研究对象

在自然界和现实生活中，一些事物都是相互联系和不断发展的。在它们彼此间的联系

和发展中，根据它们是否有必然的因果联系，可以分成截然不同的两大类：一类是确定性的

现象。这类现象是在一定条件下，必定会导致某种确定的结果。举例来说，在标准大气压下，

水加热到100摄氏度，就必然会沸腾。事物间的这种联系是属于必然性的。通常的自然科学

各学科就是专门研究和认识这种必然性的，寻求这类必然现象的因果关系，把握它们之间的

数量规律。另一类是不确定性的现象。这类现象是在一定条件下，它的结果是不确定的。举

例来说，同一个工人在同一台机床上加工同一种零件若干个，它们的尺寸总会有一点差异。

又如，在同样条件下，进行小麦品种的人工催芽试验，各颗种子的发芽情况也不尽相同，有

强弱和早晚的分别等等。为什么在相同的情况下，会出现这种不确定的结果呢？这是因为，

我们说的“相同条件”是指一些主要条件来说的，除了这些主要条件外，还会有许多次要条

件和偶然因素又是人们无法事先一一能够掌握的。正因为这样，我们在这一类现象中，就无

法用必然性的因果关系，对个别现象的结果事先做出确定的答案。事物间的这种关系是属于

偶然性的，这种现象叫做偶然现象，或者叫做随机现象。

在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。

比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都是随机现象。因

此，我们说：随机现象就是：在同样条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所得结果

不完全一样，而且无法准确地预测下一次所得结果的现象。随机现象这种结果的不确定性，

是由于一些次要的、偶然的因素影响所造成的。随机现象从表面上看，似乎是杂乱无章的、

没有什么规律的现象。但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出

一定的规律性。大量同类随机现象所呈现的这种规律性，随着我们观察的次数的增多而愈加

明显。比如掷硬币，每一次投掷很难判断是那一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，

就会越来越清楚的发现它们朝上的次数大体相同。

概率论所研究的是随机现象的数量规律，它以自然界中大量存在的随机现象作为研究对

象。其最重要的思想是如何认识隐藏在随机现象背后的统计规律性，强调随机现象的个别观

察的偶然性与大量观察中的统计规律之间的联系。随机思想是概率论的核文天祥 心思想，是从个别

偶然的现象所表现出的一种内在的必然规律。从中可以见到偶然性与必然性这一哲学范畴所

起的作用。必然性只有通过偶然性表现出来，偶然性背后总是隐藏着必然性，大量的随机现

象正体现出事物发展过程中的必然性的一面。随机思想，乃是通过对这种偶然性的研究去发

现其背后的必然性——即统计规律性，并通过这种必然性去理解，认识和把握随机思想。

我们用例子来说明这个问题，在两个赌古代医书 徒A和B之间进行赌博，规则规定，两人之间进

行若干局比赛，如果A先取得2局胜利，则A获胜；如果B先取得3局胜利，则B获胜，问

应该如何来分配赌注。很显然，在这个例子中只需进行4局赌博就能决出胜负。某人用a

表示A取胜的比赛，用b表示B取胜的比赛；然后考虑a，b两种字母每次取四个的16种可

能的排列：aaaabaaaabaaaabaaaabbbaabababaababbaababaabbbbbabbabbabbabbb

bbbb其中，a出现2次或多于2次的情况是有利于A的，这种情况共11种；而b出现3

次或多于3次的情况是有利于B的，这种情况共5种。因此，赌注应按11：5来分配。推广

至一般情形，如果A要在m局取胜，B要在n局取胜，则两种字母a和b每次取m+n-1个的

可能的排列为2m+n-1种。这样就可求出a出现m次或多于m次的情况为a种和b出现n次

或多于n次的情况为b种，而赌注也就应按a：b来分配。

2、中学数学概率与统计的主要内容

概率论的最基本概念是“概率”，它也叫“几率”“或然率”等，是随机事件的或

然性或者可能性的数值估计．它有多种定义，如由大量试验所计算出来的“频率”(统

计定义)，由“等可能性”出发，按照组合方法的古典定义，以及做为认识主体“信念

程度”的定义．但是只有到1900年测度论发展起来以后，才有正确宅斗文 的理解．这时，我们

把“事件”归结成“集合”，比如掷一颗骰子得1，2，3，4，5，6点，我们把它对应于

{1，2，3，4，5，6}这样一个集合，而事件的“概率”，则表示集合中各子集合的“测

度”，只要它满足整个集合的测度(概率)，等于1．因此，如果骰子没有不均匀处，发生

{1}，{2}，…，{6}事件的

如此等等．这样的概率表述方法的优点在于它可能推广到可列无穷集合上乃至一般的无

穷集合如连续统(区间)上．

古典概率论两大极限定理是由伯努利和德莫伏瓦在18世纪上半叶所奠基的大数定

律和中心极限定小年要干什么 理．前者是说当试验次数n增加时，取得成功的频率与概率p的偏差几乎

可以任意小，比如掷硬币，掷的次数

频率与概率的误差分布越来越接近正态分布．1907年保尔埃伦菲斯特(Paul

Ehrenfest，1880—1933)夫妇提出一个简单而漂亮的马尔科夫链的模型．考虑两个容器A

和B，A中盛有标记1到N号码的球，然后在一个签盒中(号码1到N)抽一个签得x，就把

号码为x的球由它所在的容器搬到另一容器中．当然猪脚怎么做最好吃 B最初是空的，第一步显然由A搬到

B，其后A中球数就指数地减少到N/2，其后就在N/2附近摆动．这有点像气体由一瓶中

扩散到真空瓶中的过程，所不同的是，这样伤感歌曲大全100首 一个过程总是以概率1回到初始状态，也就

是全部N个球回到容器A，当然回到初始状态成都市内景点 所经历的时间可以是很长很长的，而且永

远也不返回初始状态的过程在所有过程当中是极少极少的．

马尔科夫过程最典型的例子是布朗运动．1827年，美国植物学家布朗(R．Brown，

1773—1858)在显微镜下观察到液体中的颜料粒子做奇特的无规则运动．他在1828年发

表这个结果后，曾引起许多不同意见的争论，长时间没有满意的定量解释．一直到1900

年爱因斯坦(A．Einstein，1879—1955)和波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基(1872—1917)独

立给出物理上的解释，这就是布朗运动是分子无规则碰撞的结果．

3、概率的哲学思考

瑞典数学家L.戈丁在《数学概观》一书中有一段关于概率和概率研究极为精辟的论述：“概

率论这个词，是和探求真实性联系在一起的。在我们生活的世界上，充满了不确定性。因此

我们就试图通过猜测事件的真相和未来来掌握这种不确定性。在对我们周围世界进行分析

时，这种方法是重要的组成部分。当我们希望得到确定的结果，在正常的情况下，我们可以

把形势分成绝对危险或绝对安全的，并且避开危险，我们在崎岖不平的道路上小心的前进，

正如行人和司机张予曦图片 一样总使自己离开不安全地带很大一段距离。但是这种分类方法也包括风险

在内。对于同一现象有了两三次相似的经验之后，我们就倾向于认为它总会以同样的方式产

生。”

“不安全感既使人紧张，又是对人挑战，它强迫人们在后果还不完全清楚的情况下，

对各种方案进行选择。如果这种选择的的确有某种意义的话，我们可能是以一种欢快昂奋的

心情进行选择的。可是，坏的选择的后果不能太严重，假如我们处在危险的关头，我们就得

动员我们整个脑力资源，不只是智力上的而且还有情绪上的整个储备来对付它，而如果失败

那就可能是毁灭性的。未知的魅力是那么动人，足使人们发明了无数的游戏。使得他们能够

有条不紊的，毫无生命危险的情况下玩个痛快。”

概率论是机遇的数学模型。最初它只是带有机遇性游戏的分析，而现在是一门庞大的数

学理论，它在社会科学、生物学、物理学和化学上都有应用。