直线垂直斜率关系

高一数学必修二直线的倾斜角、斜率、两直线位置关系

3.1直线的倾斜角、斜率、两条

直线的平行、垂直位置关系

知识点讲解

注：直线的倾斜角、斜率在线性规划问题中已经讲完，本节课对此复习，本节课的新授内容是

两直线的位置关系.

A.直线的倾斜角

1.直线的倾斜角定义

（ⅰ）直线

l

与

x

轴有交点时：直线

l

向上的方向与

x

轴正向所成的最小正角.

（ⅱ）直线

l

与

x

轴平行或重合时，规定：倾斜角为零角.

2.直线倾斜角的范围：

[0,



).

3.直线倾斜角与直线的对应关系

是“一对多”关系.

即

[0,



)

内的任何一个角，都对应无数条平行直线；反过来，坐标平面内的任意一条直线，都

有唯一的倾斜角.

B.直线的斜率

1.直线的斜率定义





tan



,



90,

k





不存在，



90



时.

2.斜率公式

条件：直线经

l

过两点：

P

1

(x

1

,y

1

)

、

P

2

(x

2

,y

2

)

，其中

x

1

x

2

.

yyyy

斜率公式：

k

21

（或

k

12

）.

x

2

x

1

x

1

x2

k





2



1

3.直线斜率函数图象

斜率函数图象可用来解决一下两个范围问题：

（1）由直线倾斜角范围求斜率范围.

（2）由直线斜率范围求倾斜角范教师转正申请书 围.

4.直线斜率的求法：

（1）定义法；

（2）公式法；

（3）直线方程法：

①方程

yy

1

k(xx

1

)

表明，直线斜率为因式

(xx

1

)

的系数.

②方程

ykxb

表明，直线斜率为

x

项的系古诗春草 数.

③方程

xx

1

表明，直线斜率不存在.

④方程

yy

1

表明，直线斜率

k0

.

1



O

4

1



5



4





高一数学必修二直线的倾斜角、斜率、两直线位置关系

⑤当

B0

时，由方程

AxByC0

得到直线斜率为

k

C.两条直线位置关系

A

.B

设

l

1

、

l

2

为两条不同直线，并且约定：直线

l

1

斜率存在时，记为

k

1

，不存在时，记为“

k

1

不存

在”.同理，直线斜

l

2

率存在时，记为

k

2

，不存在时，记为“

k

2

存在”，则

1.直线

l

1

//l

2

k

1

k

2

或

k

1

、

k

2

都不存在.

事实上，若

l

1

//l

2

，则它们的位置关系有以下两种：①

l

1

，

l

2

与

x

轴都相交但不垂直；②

l

1

，

l

2

都垂直于轴.

①当

l

1

，

l

2

与

x

轴都相交但不垂直时，由

l

1

//l

2

知，它们的倾斜角相等且都不是直角，∴

k

1

=k

2

.

②当

l

1

，

l

2

都垂直于

x

轴时，显然，它们的斜率

k

1

、

k

2

都不存在.

反之，①若

k

1

=k

2

，即

tan



1

tan



2

，∵



1

,



2

[0,



)

∴



1中断英语





2

，∴

l

1

//l

2

；②若斜率

k

1

、

k

2

都不存在，则直线

l

1

，

l

2

倾斜角都是直角，

∴仍有

l

1

//l

2

.



k

1

不存在，



k

1

0,

2.直线

l

1

l

2

k

1

k

2

1

或



或



k0.

k



2

不存在，美食名称大全

2



k

事实上，若

l

1

l

2

，则它们的位置关系有以下三种：①两直线与轴都相交但不垂直；②两直线分别垂直于坐标轴.



k

2



x

0.

①当两直线与

x

轴都相交但不垂直时，则有



2





1







2

（或



1





2



2

），

∵

tan



2

tan(



1

)

2



)

2



cos



1



1



1

，即

k

1

，∴

kk1.

2

12



k

1

sin



1

sin



1

tan

1

cos(



1

)

2

cos

1

sin(



1

②当两直线分别垂直于坐标轴时，显然有



反之，若

k

1

k

2

1

，则

k

1

、

k

2

异号.不妨设

k

2

0

，

k1





k

1

0,



k

1

不存在，

或



k

2

不存在，



k

2

0.

k





k

2

0.

0

，则两直线倾斜角范围是

2

(,



)

，



1

(0,)

，

22



sin(



1

)

cos



1

111

2

tan(







)

，∴











，∴

ll

.

k=tan



=核酸类药物 =

∴

221

21

12



k

1

tan



1

sin



1

sin



1

2

2

cos(



1

)

2

cos

1



k

1

0,



k

1

不存在，

若



或



显然有

l

1

l

2

.

k



2

不存在，



k

2

0.

k





k

2

0.

题型示例

例1下列各题中的两条直线垂直否？平行否？

（1）

l

1

过点

A(1,2)

，

B(2,1)

；

l

2

过点

M(3,4)

，

N(1,1)

.

（2）

l

1

斜率为1；

l

2

过点

M(1,1)

，

N(2,2).

（3）

l

1

过点

A(3,2)

，

B(3,10)

；

l

2

过点

M(5,2)

，

N(5,5)

.

（4）

l

1

过点

A(1,2)

，

B(1,2)

；

l

2又简单又漂亮的封面画

过点

M(2,1)

，

N(2,1)

.

（5）

l

1

斜率为

10

；

l

2

过点

M(10,2)

，

N(20,3).

结果：（1）不平行，不垂直.（2）平行或重合.（3）平行.（4）不平行，不垂直.（5）垂直.

2

高一数学必修二直线的倾斜角、斜率、两直线位置关系

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