点在平面上的投影

第二章点、直线、平面的投影

2.1

投影法

工程式样，工程技术等问题，一般都采用工程图样来表示．工程图样根据使用要求

和使用场合的不同，获得的方法也不同．在绘制工程图样时，通常采用投影法．所谓投

影法，就是用投影的方法获得图样．在日常生活中，人们常见到，当物体受到光线照射

时，在物体背光一面的地上或墙上就会投下该物体的影子，这就是投影．这样的影子只

能反映该物体的轮廓形状，不能反映物体内外各部分的具体形状，在工程上没有实用价

值．经过人们长期研究，对日常生活中的投影加以提

炼，对物体内外各部分的所有空间几何元素(点、线、

面)用各种不同的线型加以具体化，从而形成工程上实

用的、完整的投影法．

投影法一般分为两类：中心投影法和平行投影法．

一中心投影法

图2.1

中心投影法

如图2.1所示，投影线都自投影中心S出发，将空

间△ABC投射到投影面P上，所得△abc就是ABC

的投影．这种投影线都从投影中心出发的投影法，称

为中心投影法．所得的投影称为中心投影．

中心投影法主要用于绘制建筑物或产品的富有逼真感的立体图，也称透视图．

二平行投影法

若将投影中心S移到无穷远处，则所有的投影线就互相平行，这种投影线互相平行

的投影法称为平行投影法，见图2.2，所得投影称为平行投影．

(a)正投影法

(b)斜投影法

图2.2

平行投影法

1

平行投影法中，若投影线垂直于投影面，称为正投影法，所得投影称为正投影．投

影线也可以倾斜于投影面，称为斜投影法，所得投影称为斜投影。

正投影法主要用于绘制机械图样．斜投影法主要用于绘制有立体感的图形．

三正投影法的主要特性

点在任何情况下的投影都是点．为了充分反映正投影法的投影特性，我们对直线和

平面的投影进行阐述．直线和平面与投影面之间的位置关系只有三种：平行、垂直、倾

斜．若直线和平面就在投影面上，则可归入平行即可．在这三种情况下．直线和平面的

投影见表2.1．

位置关系

类别

直观图

表2.1

正投影法下直线和平面的投影特性

与投影面∠

直观图

投影图

与投影面∥

投影图

与投影面⊥

直观图

投影图

直

线

平

面

实形性

积聚性

类似性

投影特性

从表2.1中可见，当直线和平面与投影面平行时，则投影反映实形(长)，这种投影

直观，便于度量．当直线和平面与投影面垂直时，则投影反映积聚，这种投影简单，便

于作图．当直线和平面与投影面倾斜时，则投影反映类似形状，这种投影便于检查错

误．实形性、积聚性、类似性满足了工程上经济、实用的原则，正因为这种优越性，所

以，国家标准规定所有机械图样一律采用正投影法绘制．

2.2

三视图的形成及其投影规律

上一节已阐述了绘制机械图样所采用的投影方法。机件向投影面投影所得的图形称

为视图．

用正投影法绘制机械图样时，如果只画一个投影是不能完整和确切地表达物体的形

状和大小的，见图2.3．要想完整表达物体上下、左右、前后各部分的形状和大小，必

须将物体朝几个方向进行投影，也就是多方向观察物体．常用的方法是向3个方向投影，

2

得3个投影图，简称三视图．

一三视图的形成

图2.3

一个视图不能确定物体的形状

所谓三视图，就是有3个视图．有3个视图，就有3个投影面．根据国家标准规定，

3个投影面互相垂直，形成三投影面体系，见图2.4(a)．

图2.4

三视图的形成及投影规律

在人教版三年级语文下册 三投影面体系中，正对观察者的投影面称为正平面，用V表示．水平放的投影面

称为水平面，用H表示．侧立的投影面称为侧平面，用W表示．在V面上的视图，是

机件由前向后投影所得的图形，称为主视图．在H面上的视图，是机件由上向下投影所

得的图形，称为俯视图．在W面上的视图，是机件由左向右投影所得的图形，称为左

视春笋做法 图．这3个视图必须按国家标准规定展开，见图2.4(b)，以V面为基准(V面不动)，

3

H面绕V与H面的交线X轴向下转90，W面绕V与W面的交线Z轴向右转90，

使V、H、W面处在同一平面上，便于画图．展开后的三视图按规定不画投影面边框，

也不画投影轴，无需标明视图名称，见图2.4(c)．

二三视图的投影规律

在三投影面体系中，规定X轴方向表示物体的长度方向，Y轴方向表示物体的宽度

方向，Z轴方向表示物体的高度方向．长度方向反映物体的左右关系，宽度方向反映物

体的前后关系，高度方向反映物体的上下关系，见图2.4(d)．由图可得出三视图的投影

规律：

主、俯视图——长对正；

主、左视图——高平齐；

俯、左视图——宽相等．

这个投影规律不仅适用于机件整体之间的投影，也适用于组成机件的空间几何元素

点、线、面之间的投影．

2.3

点的投影

机件根据使用场合和使用功能的不同，它们的形状有简单有复杂．但不管机件的形

状多复杂，都是由空间几何元素点、线、面组成的，为了顺利画出各种机件(尤其是复

杂机件)的视图，首先研究组成机件的几何元素的投影是必须的．

一点在三投影面体系中的投影

见图2.5，规定空间点用大写字母，投影点用小写字母．空间A点在H面上的投影

为a，在V面上的投影为a’，在W面上的投影为a”．根据投影法，Aa⊥H面，

（a）

立体图

(b)投影面展开后

图2.5

(c)投影图

-13

点的三面投影

Aa’⊥V面，则Aa与Aa’组成的平面Q⊥X轴．由于a’a

x

∥Aa，aa

x

∥Aa’，所以a’ax

⊥X轴，aa

x

⊥X轴．投影面展开后，a’与a的连线a’a⊥X轴．同理可以得出a’a”⊥Z

轴；aa

YH

⊥Y

H

，a”a

YW

⊥Y

W

，即aa

x

＝a”a

Z

．这个结论就是点的两个投影的连线垂直于

4

相应的投影轴．这也正是上节三视图投影规律长对正、高平齐、宽相等的理论依据．

在画图2.5(c)的投影图时，为了作图方便，常画45辅助线．

例2.1已知空间点A(12，8，16)，求A的三面投影．

(a)

(c)

(b)

图2.6

根据点的坐标作投影图．

解：作图步骤见图2.6．

第一步：由原点O向左沿X轴方向量取oa

x

＝12．

第二步：过a

x

作X轴的垂线，并由a

x

开始，向下量取8mm得a，向上量取16mm

得a’．

第三步：由a和a’按箭头方向画线求得a”．

例2.2已知空间点B(8，12，0)，C(0，0，

12)，求它们的三面投影图．

解：由于B点的Z＝0，所以B点在H面内．C

点的X＝Y＝0，所以C点在Z轴上．它们的投

影图见图2.7．

从上述两个例题可看出：

点的3个坐标值都不等于零时，该点属于一

般空间点．它的3个投影都在投影面内．

点的一个坐标值等于零时，该点属于某个投

图2.7

在投影面上和投影轴

上点的投影

影面．它的3个投影总有两个位于不同的投影轴

上，另一个投影与自身重合．

点的两个坐标值等于零时，该点属于某根

投影轴．它的3个投影总有两个投影在某根轴上与自身重合，另一个投影与坐标原点重

合．

二两点之间的相对位置关系

如图2.8所示，由两个点的投影沿左右、前后、上下3个方向所反映的坐标差，即

这两点对投影面W，V，H的距离差，由此就确定了这两点之间的位置关系．

5

(a)立体图

(b)投影图

图2.8

两点的相对位置

图2.9所示，A、B两点无左右和上下距离差，B点在A点的正后方，这两点的正面

投影相互重合，A点和B点称为对V面投影的重影点．同理，若一点在另一点的正下方

或正上方，则这两点是对H面投影的重影点．若一点在另一点的正左方或正右方，则这

两点是对W面投影的重影点．

(a)立体图

(b)投影图

图2.9

重影点．

重影点需判别可见性．根据正投影的特性，可见性的区分应是前遮后、上遮下、左

遮右．所以图2.9中的重影点应是A点遮挡B点，B点的V面投影应为不可见．规定不

可见的点加括号，所以，b’应加括号为(b’)．

一直线的投影

2.4直线的投影

由图2.10可知，根据正投影特性，Aa∥Bb，且同时垂

直H面，则Aa和Bb确定的平面与H面相交，得交线ab

图2.10

直线的投影

6

为直线．所以，直线的投影一般仍为直线．只有当直线垂直于投影面时，如图2.10中

CD⊥H面，则直线的投影就积聚成点．

二直线上点的投影

根据投影特性，由图2.11可知，直线上点的投影，在直线的同面投影上．即C在

AB上，则c在ab上，c’在a’b’上，c”在a”b”上．同时，点分线段之比，投影后保持不

变．图中C点将AB分为3:2两段，即AC:CB＝3:2．在求作C点的投影时，只需将

AB的任意一个投影分为3:2，即可求得C点的投影，见图2.11(b)．

(a)立体图

(b)作图过程

图2.11直线上点的投影

三各种位置直线的投影特性

在三投影面体系中，直线与投影面之间的相对位置关系可分为与投影面平行，与投

影面垂直，与投影面倾斜三种．前两种称为投影面的特殊位置直线，后一种称为投影面

的一般位置直线．

与投影面平行的直线称为投影面平行线，它只与一个投影面平行，而与另外两个投

影面倾斜．

与投影面垂直的直线称为投影面垂直线，它只与一个投影面垂直，而与另外两个投

影面同时平行．

与投影面倾斜的直线，即投影面的一般位置直线，它与3个投影面都倾斜．

（一）投影面平行线与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正

平线，与W面平行的直线称为侧平线．它们的投影图及投影特性见表2.2．规定直线(或

平面)对H、V、W面的夹角分别用

，

，

表示．

（二）投影面垂直线与H面垂直的直线称为铅垂线，与V面垂直的直线称为正

垂线，与W面垂直的直线称为侧垂线．它们的投影图及投影特性见表2.3．

7

名称

水平线

表2.2

投影面平行线的投影特性

正平线

侧平线

立

体

图

投

影

图

投

影

特

性

1．水平投影反映实长，与X

轴夹角为，与y轴夹角为．

2．正面投影平行X轴．

3．侧面投影平行y轴．

1．正面投影反映实长，与X轴夹

角为，与Z轴夹角为，

2．水平投影平行X轴宇航员简笔画彩色 ．

3．侧面投影平行Z轴．

1．侧面投影反映实长，与Y轴夹

角为，与Z轴夹角为．

2．正面投影平行Z轴．

3．水平投影平行Y轴．

名称

铅垂线

表2.3投影面垂直线的投影特姓

正垂线

侧垂线

立

体

图

投

影

图

投

影

特

性

1．水平投影积聚为一点．

2．正面投影和侧面投影都平行于

Z轴，并反映实长．

1．正面投影积聚为一点．

2．水平投影和侧面投影都平行

于Y轴，并反映实长．

1．侧面投影积聚为一点．

2．正面投影和水平投影都平行

于X轴，并反映实长．

(三)一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的

8

投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的夹角，见图

2.12．

图2.12

一般位置直线的投影

四一般位置线段的实长及对投影面的倾角

由表2.2，表2.3可知，投影面的特殊位置直线，从它们的投影图中即可得到该线段

的实长和对投影面的倾角．但一般位置线段的投影却不能．要想求得一般位置线段的实

长和对投影面的倾角，常采用直角三角形法，见图2.13．

图2.13直角三角形法求线段实长和倾角

由图2.13(a)可知，作AC∥ab，侧ABC为直角三角形。BC＝│Z

A

—Z

B

│，AC＝

ab，AB为实长，角A即为AB线段对H面的夹角

．根据三角形三条边之间的关系，

即可在投影图上画出直角三角形，图2.13中(b)，(c)是两种不同的作法．直角三角形也

可画在图外．我们不难看出，在这个直角三角形中，求得的倾角只是

角，并不反映

9

和

角．若要求

和

角，两条直角边应作相应变化，如图2.13(a)中求

角的直角三角

形ABD．若要求

角，则还应另作直角三角形．这说明一个直角三角形只能求一个夹角，

、

、

3个夹角必须画3个直角三角形．倾角与直角边之间的关系一定符合图2.14

所示．

解：

图2.14

求、、的三个直角三角形

例2.3已知线段AB对V面的倾角

＝30，试完成AB的二面投影，见图2.15．

分析：题目已知AB线段的水平投影ab，见图2.15(a)，实际已告知A、B两点的前

后差．又知道AB线段对V面的夹角

＝30．一个直角三角形，已知一条直角边及该

直角边的对角，这个直角三角形可以作出．该直角三角形中的另一直角边即为AB线段

的正面投影长度，即可完成作图．

(a)

(b)

图2.15完成AB线段的二面投影

作图：见图2.15(b)．

1．作直角三角形aa

1

b

1

．

2．截取a’b’＝a

1

b

1

，完成全图．

五两直线的相对位置

空间两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种．其中交叉两直线是既不平行，也

不相交，亦称异面直线．

(一)平行两直线如果空间两直线互相平行，则根据投影特性，这两直线的同面

10

投影也一定互相平行．反之，如两直线的同面投影互相平行，则这两直线在空间一定互

相平行．

前面在阐述直线投影时，已叙述过直线在投影时形成投射面，投射面与投影面相交

的交线即为直线的投影．如图2.16所示，AB和CD两直线在投影时所形成的两个投射

面必定互相平行，它们与投影面相交的交线(即投影)也必定互相平行．由此可知，当

AB∥CD时，则ab∥cd，a’b’∥c’d’，a”b”∥c”d”．根据这一投影特性，我们即可画出

平行两直线的投影，也可判断空间两直线是否平行．

图2.16

平行两直线的投影

例2.4如图2.17所示，已知ab∥cd，a’b’∥c’d’，试判断AB和CD是否平行．

解：

(a)

(b)

图2.17判别两侧平线是否平行

分析：判别两直线是否平行，只需判两直线的同面投影是否平行，图中两直线只给

出两同面投影互相平行，第三面投影是否一定平行，这要看所给直线是什么线．如所给

两直线是一般位置直线，则第三面投影一定平行，空间两直线平行．如所给两直线是投

影面垂直线，则无需判断，空间两直线一定平行．如所给两直线是投影面平行线，则第

三面投影不一定平行，需作出第三面投影后才能判别．

作图：根据投影关系，作出AB、CD的第三面投影．

判别：图2.17(a)，a”b”∥c”d”，所以AB∥CD．

11

图2.17(b)，a”b”不平行c”d”，所以AB不平行CD．

（二）相交两直线如果空间两直线相交，则它们的各组同面投影一定相交，且交

点的投影必符合点的投影规律．反之，如果两直线的各组同面投影相交，且交点的投影

符合点的投影规律，则该两直线在空间一定相交，见图2.18．

(b)

(a)

(c)

(d)(e)

图2.18

相交两直线的投影．

为了清楚起见，图2.18未画出侧面投影．必须注意，当两直线中有一直线为侧平线

时，见图2.18(c)，投影图上的“交点”有可能不是真正的交点，而是重影点，必须进行

判别后才能确定两直线是否相交．判别的方法是作侧面投影，见图2.18(d)，或用点分线

段成定比的方法，见图2.18(e)．这里判别的结果是两直线不相交．

（三）交叉两直线在空间既不相交，也不平行的两直线称为交叉两直线．交叉两

直线的投影不符合相交两直线的投影规律，它在3个投影面上的投影虽然都可以相交，

但其交点绝不符合点的投影规律．交叉两直线的投影也不符合平行两直线的投影规律，

它在3个投影面上的投影绝不会同时相互平行，但属虎和属马 可以在一个或两个投影面上相互平行，

见图2.19．

12

六直角投影定理

图2.19

交叉两直线的投影

当空间两直线垂直相交，且其中一直线平行于某一投影面时，则在该投影面上两直

线的投影仍保持直角，见图2.20．

(a)

(b)

图2.20直角投影定理

如图2.20(a)所示，AB⊥AC，AB∥H面．由于Aa⊥H面，所以AB⊥Aa，因此，AB

垂直于相交两直线组成的平面ACca．又由于ab∥AB，所以ab⊥ACca平面，ab⊥ac，

∠bac＝90．利用这个性质，即可作投影图，见图2.20(b)．利用这个性质亦可判定：

若相交两直线在同一投影面上的投影成直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两

直线的夹角必是90．

上述是两直线垂直相交的情况．如果两直线垂直，但不相交，结果会怎么样呢？由

图2.21可知，结果是一样的．读者可自行证明．

13

(a)

(b)

图2.21

两直线交叉垂直

例2.5过点A作一等边三角形ABC，已知BC在水平线MN上，完成试ABC的

两面投影，见图2.22．

解：

分析：要出作ABC的投影，只有确定BC边的长度和在MN上的位置方可作出．根

据题意，可先作出BC边上的高，以确定BC在MN上的位置．再根据高的实长作出等

边三角形ABC的实形，以确定BC边的实长，即可在MN上确定BC的投影．

(a)

(c)

(b)

(d)

图2.22作等边三角形ABC

14

作图：

第一步：利用直角投影定理出作ABC的高AD的投影，见图2.22(b)．

第二步：利用直角三角形法求出AD的实长，并出作ABC的实形，见图2.22(c)．

第三步：在MN上截取BC实长，并完成全图，见图2.22(d)．

一平面的表示法

2.5平面的投影

由初等几何可知，不在同一直线上的三点确定一个平面．因此，表示平面的最基本

方法是不在一直线上的三个点．其它的各种表示方法都是由此派生的．平面的表示方法

可归纳成下列五种．

1．不在同一直线上的三点，见图2.23(a)．

2．一直线校园励志歌曲 和该直线外的一点，见图2.23(b)．

3．相交两直线，见图2.23(c)．

4．平行两直线，见图2.23(d)．

5．任意平面图形，见图2.23(e)．

图2.23几何元素表示的平面

图2.23示出的平面是用几何元素来表示的平面．除此之外，还可以用迹线来表示平

面．所谓迹线，是平面与投影面相交的交线．如平面P与V面相交的交线称为正面迹线，

用Pv表示；与H面相交的交线称为水平迹线，用P

H

表示；与W面相交的交线称为侧

面迹线，用P

W

表示，见图2.24．

图2.24平面的迹线表示法

15

由图2.24可知，Pv和P

H

是P面与V面和H面的交线，亦是P面上的两条相交直

线，因此，用迹线来表示平面在本质上与用几何元素来表示平面是一致的，只是为了简

洁起见，Pv与P

H

的另一个投影(都在OX轴上)不再另行标明，显得有些抽象．但若

掌握并用活了，作图就会显得很简捷．

二各种位置平面的投影特性

在三投影面体系中，平面与投影面之间的相对位置关系和直线与投影面之间的相对

位置关系是相同的，同样分为三类：

投影面平行面——只平行于一个投影面，而与另外两个投影面同时垂直的平面．

投影面垂直面——只垂直于一个投影面，而与另外两个投影面都倾斜的平面．

一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面猪肚炖什么好吃 ．

(一)投影面平行面与H面平行的平面称为水平面，与V面平行的平面称为正平

面，与W面平行的平面称为侧平面．它们的投影图及投影特性见表2.4．

名

水平面

表2.4

投影面平行面的投影特性

侧平面

称

正平面

立

体

图

投

影

图

1．水平投影反映实形

2．正面投影积聚成平行于X

轴的直线

3．侧面投影积聚成平行于Y

轴的直线

1．正面投影反映实形

2．水平投影积聚成平行于X

轴的直线

3．侧面投影积聚成平行于Z

轴的直线

1．侧面投影反映实形

2．正面投影积聚成平行于Z轴的

直线

3．水平投影积聚成平行于Y轴的

直线．

投

影

特

性

(二)投影面垂直面与H面垂直的平面称为铅垂面，与V面垂直的平面称为正垂

面，与W面垂直的平面称为侧垂面．它们的投影水的成语大全 图及投影特性见表2.5．

16

名

称

表2.5

铅垂面

投影面垂直面的投影特性

正垂面

侧垂面

立

体

图

投

影

图

1.水平投影积聚成直线，与X轴夹

角为，与Y轴夹角为．

2.正面投影和侧面投影具有类似

性．

1.正面投影积聚成直线，与X轴夹

角为，与Z轴夹角为．

2.水平投影和侧面投影具有类似

性．

投

影

特

性

1.侧面投影积聚成直线，与Y轴夹

角为，与Z轴夹角为．

2.正面投影和水平投影具有类似性

(三)一般位置平面一般位置平面与三个投影面都倾斜．因此，在三个投影面上

的投影都不反映实形，而是缩小了的类似形，见图2.25．

三平面上的点和直线

图2.25

一般位置平面的投影

点和直线在平面上的几何条件是：

点在平面上，则该点必在平面上的直线上．

直线在平面上，则该直线必通过平面上的两个点(两点法)；或通过平面上的一个点，

17

且平行于平面上的一条已知直线(一点一方向)．

根据上述几何条件，就可在平面上作点或直线，亦可判定点或直线是否在平面上．

例2.6如图2.26(a)所示，已知直线DE在ABC平面上，求作直线DE的水平投

影de．

解：

(a)

(b)

图2.26

作平面上的直线

(c)

分析：根据直线在平面上的几何条件可直接作图，本题为简单起见，采用两点法．

作图：

1．延长d’e’与a’b’分别交于1’和2’．根据直线上点的投影特性，可求得水平投影1

和2，见图2.26(b)．

2．连1、2．同样根据直线上点的投影特性，可求得DE的水平投影de，见图2.26(c)．

例2.7如图2.27(a)所示，已知ABC及点K的两面投影，试判别点K是否在△

ABC平面上．

解：

(a)

(b)

(c)

图2.27

判断点K是否在ABC平面上

分析：根据点在平面上的几何条件，可用两种方法进行判别．

方法一(两点法)，见图2.27(b)．

1．连ak，并延长交bc于l．

18

2．根据投影关系，求得a’l’．

3．判别：因k’在a’l’上，所以点K在ABC平面上．

方法二(一点一方向)，见图2.27(c)．

1．过k作ac的平行线交ab于l．

2．根据投影关系求得l’，并连l’k’．

3．判别：检查结果为l’k’∥a’c’，所以，点A在ABC平面上．

四平面上的投影面平行线

平面上的直线具有直线的投影特性．由于一般位置平面具有普遍性，故这里只阐述

一般位置平面上的直线．一般位置平面与一般位置平面相交，交线为一般位置直线或投

影面平行线．一般位置平面与投影面平行面相交，交线为投影面平行线．一般位置平面

与投影面垂直面相交，交线仍为一般位置直线．故一般位置平面上只能作出一般位置直

线和投影面平行线．作不出投影面垂直线．投影面平行线是直角投影定理中的基本直线，

必须熟练掌握它的作图方法．

例2.8已知ABC平面，试在平面上过A

点作水平线，过C点作正平线，见图2.28．

解：

分析：由于水平线的正面投影平行于X轴，

故可先过A点的正面投影作X轴的平行线，再根

据投影关系确定其水平投影即可．同理，正平线

的水平投影平行于X轴，可先过C点的水平投影

作X轴的平行线，再根据投影关系确定其正面投

影．

图2.28

平面上作水平线和正平线

作图：

1．过a’作a’e’∥ox，并求出ae．则AE即为

△ABC平面上的水平线．

2．过c作cd∥ox，并求出c’d’．则CD即为△ABC平面上的正平线．

五平面上的最大斜度线

（一）最大斜度线的概念．平面上对投影面的夹角为最大的直线称为最大斜度线．如

图2.29(a)所示，过平面P上任一点A作Aa⊥H面，AB⊥P

H

，任作AC，则组成三个直

角三角形：ABC、ABa、ACa．在直角三角形ABC中，AC是斜边，所以AC＞AB．同时，

AC和AB又分别是直角三角形ACa和ABa的动物故事 两条斜边，这两个直角三角形享有公共的

直角边Aa，Aa所对的夹角，斜边越长，夹角越小，所以

＞

．AB对H面的夹角最

大，故称AB为对H面的最大斜度线．

由于图2.29(a)中的投影面H可换成V面或W面，故最大斜度线必须具体指明是对

哪个投影面的最大斜度线，如：

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投影面为H面，则AB是P面上对H面的最大斜度线．

投影面为V面，则AB是P面上对V面的最大斜度线．

投影面为W面，则AB是P面上对W面的最大斜度线．

(a)

图2.29

最大斜度线及其投影

(b)

（二）最大斜度线的投影特性．由图2.2围棋的玩法 9(a)可知，AB⊥P

H

，P

H

是P面与水平面H

的交线，也是P面上的水平线．所以，P面上对H面的最大斜度线必垂直于P面上的

水平线．同理，P面上对V面的最大斜度线必垂直于P面上的正平线；P面上对W面的

最大斜度线必垂直于P面上的侧平线．这些垂直关系可直接利用直角投影定理在投影图

上方便地作出投影来．图2.29(b)即是平面上对H面的最大斜度线AE的投影图．

（三）求最大斜度线的目的是求平面对投影面的倾角．由图2.29(a)可知，平面上的

最大斜度线是与投影面夹角最大的直线．显然，该夹角就是平面对投影面的夹角．因此，

最大斜度线的几何意义是测定平面对投影面的倾角．求作最大斜度线的主要目的是求解

平面对投影面的倾角．

例2.9已知直线AB为平面对V面的最大斜度线，试求该平面对H面的倾角

，

见图2.30(a)．

解：

(a)

(b)

图2.30

求平面对投影面的倾角

(c)

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分析：因为AB是平面上对V面的最大斜度线，所以AB垂直平面上的正平线．任

作一条正平线与AB垂直相交，即可确定该平面的投影．

有了该平面的投影，即可作对H面的最大斜度线，并通过直角三角形法求角．

作图：

1．过B点作BC平行V面，并垂直于AB，见图2.30(b)．

2．在平面上作水平线CD；过B点作BE⊥CD；利用直角三角形法求出BE的角，

即为所求，见图2.30(c)．

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