行胜于言
专题能力训练5基本初等函数、函数的图象和性质
能力突破训练
1.已知f(x)=2,则函数y=f(|x-1|)的图象为(
)
x
2.已知a=2,b=(
2
),c=2log
5
2,则a,b,c的大小关系为(
)
A.c
C.b
3.函数y=
e
+e
-
e
-e
-
1.2
1
-0.8
的图象大致为(
)
4.(2015山东高考)若函数f(x)=
2
-
是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为(
)
2
+1
A.(-∞,-1)
C.(0,1)
B.(-1,0)
D.(1,+∞)
2
-1
-2,≤1,
5.(2015全国
Ⅰ
高考)已知函数f(x)=
{
且f(a)=-3,则f(6-a)=(
)
-log
2
(+1),>1,
75
A.-
4
B.-
4
C.-
4
D.-
4
6.设函数y=f(x)的图象与y=2
x+a
的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则a=(
)
A.-1B.1C.2D.4
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=e
x
+a.若f(x)在R上是单调函数,则实数a
的最小值是
.
8.(2015全国
Ⅰ
高考)若函数f(x)=xln(x+
√
+
2
)为偶函数,则a=
.
9.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足
f(log
2
a)+f(log
1
a)≤2f(1),则a的取值范围是
.
2
31
10.设奇函数y=f(x)(x∈R),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且当x∈
[0
,
2
]
时,f(x)=-x
2
,则
f(3)+f(-
2
)的值等于
11.设函数f(x)=
3
1
.
2+1
(+1)
2+sin
的最大值为M,最小值为m,则M+m=
.
1
12.若不等式3x
2
-log
a
x<0在x∈(0,)内恒成立,求实数a的取值范围.
3
1
行胜于言
思维提升训练
13.函数y=
cos6
2
-2
-
的图象大致为(
)
数,则a+b=(
)
A.1B.-1
14.(2015甘肃天水一中一模)函数f(x)=
3
C.-
21
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-
的图象关于原点对称,若g(x)=lg(10
x
+1)+bx是偶函
D.
21
+1,-1≤<0,
15.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=
{
+2
其中a,b
,0≤≤1,
∈R.若f(
2
)=f(
2
),则a+3b的值为.
2+,<1,
16.已知实数a≠0,函数f(x)=
{
若f(1-a)=f(1+a),则a的值为
.
--2,≥1.
17.已知函数f(x)=e
x
-e
-x
(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x
2
-t
2
)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说
明理由.
参考答案
能力突破训练
|x冬天散文 -1|
1.D
解析:(方法一)f(|x-1|)=2,
当x=0时,y=2,可排除A,C;
2
1
3
+1
行胜于言
当x=-1时,y=4,可排除B.
(方法二)y=2
x
→y=2
|x|
→y=2
|x-1|
,经过图象的对称、平移可得到所求.
2.A
解析:
∵
b=(
2)
1
-0.8
=2
0.8
<2
1.2
=a,且b>1,
e
+e
-
e
-e
-
又c=2log
5
2=log
5
4<1,
∴
c
=
2
3.A
解析:函数有意义,需使e
x
-e
-x
≠0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D.因为y=
e
2+1
=1+
e
2
-1
,所以当x>0时函数为减函数.故选A.
e
2
-1
4.C
解析:
∵
f(x)为奇函数,
∴
f(-x)=-f(x).即
2+1
2
-
+1
2-
-
=-
2
-
,也就是
1-2
=-
2
-
,
∴
1-a2
x
=a-2
x
,即(1-
2
+1-3(2
-1)
2-1
2
+12
+12
+1
a)2
x
=a-1,
∴
1-a=0,解得a=1.
∴
f(x)=
2
-1
.则
2
-1
>3,即
x
2+1
>0,即
-2(2
-2)
2-1
>0,即(2
x
-2)(2
x
-1)<0,
∴
1<2<2,即0
5.A
解析:
∵
f(a)=-3,
∴
当a≤1时,f(a)=2
a-1
-2=-3,即2
a-1
=-1,此等式显然不成立.
当a>1时,f(a)=-log
2
(a+1)=-3,即a+1=2
3
,解得a=7.
17
∴
f(6-a)=f(-1)=2
-1-1
-2=
4
-2=-
4
.
6.C
解析:设(x,y)是函数y=f(x)图象上的任意一点,它关于直线y=-x的对称点为(-y,-x),由已
知得点(-y,-x)在曲线y=2
x+a
上,
∴
-x=2
-y+a
,解得y=-log
2
(-x)+a,即f(x)=-log
2
(-x)+a.
∴
f(-2)+f(-4)=-log
2
2+a+(-log
2
4)+a=1,
解得a=2.
7.-1
解析:依题意得f(0)=0,当x>0时,f(x)=e
x
+a,且f(海珍珠 x)在R上为奇函数,所以当x<0时,f(x)=-
f(-x)=-(e
-x
+a).由题意知f(x鸡和马 )在R上为单调递增函数,所以当x<0时,f(x)
max
≤f(0),所以-(e
-x
+a)≤0,
即a≥-e
-x
(x<0).因此实数a的最小值是-1.
8.1
解析:
∵
f(x)是偶函数,
∴
f(-1)=f(1).
又f(-1)=-ln(-1+
√
+1)=ln
√+1+1
,f(1)=ln(1+
√
+1),
因此ln(
√
+1+1)-lna=ln(
√
+1+1),
于是lna=0,
∴
a=1.
9.
[
2
,2]
解析:由题意知a>0,又log
1
a=log
2
a
-1
=-log
2
a.
1
∵
f(x)是R上的偶函数,
∴
f(log
2
a)=f(-log
2
a)=f(log
1
a).
∵
f(log
2
a)+f(log
1
a)≤2f(1),
2
2
2
∴
2f(lo风景唯美图片 g
2
a)≤2f(1),即f(log
2
a)≤f(1).
又f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴
|log
2
a|≤1,-1≤log
2
a≤1,
∴
a∈
[
2
,2].
10.-
4
解析:根据对任意t∈R都有f(t)=f(1-t)可得f(-t)=f(1+t),即f(t+1)=-f(t),进而得到
f五个字的成语 (t+2)=-f(t+1)=-[-f(t)]=f(t),得函数y=f(x)的一个周期为2,则f(3)=f(1)=f(0+1)=-
f(0)=0,f(-)=f()=-,所以f(3)+f(-)=0+(-)=-.
2
2
4
3
1
1
3
14
14
1
1
11.2
解析:f(x)=
设g(x)=
2+sin
2+1
(+1)+sin
2+1
2
=1+
2
2+sin
2+1
,
,则g(-x)理所应该 =-g(x),
故g(x)是奇函数.
由奇函数图象的对称性知g(x)
max
+g(x)
min
=0,
则M+m=[g(x)+1]
max
+[g(x)+1]
min
=2+g(x)
max
+g(x)
min
=2.
12.解:由题意知3x
2
a
x在x∈(0,
3
)内恒成立.
3
1
行胜于言
在同一平面直角坐标系内,分别作出函数y=3x
2
和y=log
a
x的图象.
观察两函数图象,当x∈(0,
3
)时,若a>1,函数y=log
a
x的图象显然在函数y=3x
2
图象的下方,
所以不成立;
当0
a
x的图象必须过点(
3
,
3
)或在这个点的上方,
11
1
则log
a
3
≥
3
,所以a≥
27
,所以
27
≤a<1.
综上,实数a的取值范围为
27
≤a<1.
13.D
解析:y=
cos6
2
-2
-
1
1111
思维提升训练
为奇函数,排除A项;y=cos6x有无穷多个零点,排除C项;当x在原点右侧
9
-
附近时,可保证2
x
-2
-x
>0,cos6x>0,则此时y>0,故选D.
14.D
解析:
∵
f(x)=
3
关于原点对称,
∴
函数f(x)是奇函数,
∴
f(0)=0,a=1.
∵
g(x)=lg(10
x
+1)+bx是偶函数,
∴
g(-x)=g漂亮的李慧珍歌曲 (x)对任意的x都成立,
∴
lg(10
-x
+1)-bx=lg(10
x
+1)+bx,
∴lg
10
+110
=lg(10
x
+1)+2bx,
1
∴
-x=2bx对一切x恒成立,
∴
b=-
2
,
∴
a+b=
2
.故选D.
∴
f(
2
)=f(-
2
),∴
1
11
15.-10
解析:
∵
f()=f(),
1
+2
2
32
32
12
=-
2
a+1,
1
易求得3a+2b=-2.又f(1)=f(-1),
+2
∴
-a+1=
2
,即2a+b=0,
∴
a=2,b=-4,
∴
a+3b=-10.3
16.-
4
解析:首先讨论1-a,1+a与1的关系,当a<0时,1-a>1,1+a<1,
所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a;f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2.
3
因为f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2,所以a=-
4
.
当a>0时,1-a<1,1+a>1,
所以f(1-a)=2(1-a)+a=2-a;
f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1.
3
因为f(1-a)=f(1+a),所以2-a=-3a-1,所以a=-
2
(舍去).
综上,满足条件的a=-
4
.
17.解:(1)
∵
f(x)=e
x
-(
e
),且y=e
x
是增函数,
y=-()是增函数,
∴
f(x)是增函数.
1
e
1
3
∵
f(x)的定义域为R,且f(-x)=e
-x
-e
x
=-f(x),
∴
f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数,
4
行胜于言
∵
f(x-t)+f(x
2
-t
2
)≥0对x∈R恒成立,
∴
f(x-t)≥f(t
2
-x
2
),
∴
t
2
-x
2
≤x-t,
∴
x
2
+x≥t
2
+t对x∈R恒成立.
又(关于读书的诗句有哪些 +
2
)≤(+
2)
12
11
12
12
min
对一切x∈R恒成立,
∴
(+
2
)≤0,
∴
t=-
2
.
即存在实数t=-
2
,使不等式f(x-t)+f(x
2
-t
2
)≥0对一切x都成立.
5
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