幂函数定义

高中数学：幂女生可爱图片 函数的概念、图象和性质

1、幂函数的概念

一般地，函数

是使

例1、已知幂函数数。求幂函数

的解析式。

，且当

时

为减函

叫做幂函数，其中是自变量，

是常数；其定义域

有意义的值的集合。

分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析

式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。

解答：由于

所以

当当

时，时，

，解得

，，

的解析式为

。

为幂函数，，或

在

。

上为减函数；在

上为常函数，不合

题意，舍去。

故所求幂函数

2、幂函数的图象和性质

图象：

性质：

定

义域

值

域

奇

偶

性

单

调

性

定

点

上增

，

上都有定义，并且图象都过点

和

上减，

上增

上增

上增

奇

偶

奇

非奇非

偶

奇

，

上分别减

（1）所有的幂函成熟英语 数在

（2）如果

是增函数；

（3）如果

轴，当趋于

（4）当

数。

例2、比较

函数的图象比较

解答：而

在

，

与

，

；

上

，则幂函数的图象过点，则幂函数的图象过点

，并且在区间

上是减函

，并在区间

数。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近

为偶数时，幂尧舜禅让 函数为偶函

时，图象在轴上方无限地逼近轴；

为奇数时，幂函数为奇函数；怎么做小笼包 当

的大小。

的增减性比较

的大小。

与

的大小，再根据幂

分析：先利用幂函数

上单调递增，且。故

，

。

例3、若函数

范围。

在区间上是递减函数，求实数m的取值

分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。函数

是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是

，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在上都是递减函数。一般地，形如

性质来得到。

解答：由于函数

，所以函数

的图象是由幂

和

的函数都可以通过对

的

的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助

的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，

所以其图象如图所示。

其单调递减区间是

减函数，所以应有

例4、若点

上，定义数

和

的图象，得出

和

。

的图象上，点，试求函数

在幂函数

的图象

，而函数

在区间

上是递

在幂函数

的最大值及其单调区间。，然后在同一坐标系下画出函

分析：首先根据幂函数的定义求出

调区间。

的函数图象，最后根据图象求出最大值和单

解答：设

，即又设

。

，因为点

；，点

在

在的图象上，所以，所以

的图象上，所以和

，所以，即

在同一坐标系下画出函数的图象，如图所示，则有

。

根据图象可知函数

例5、已知幂函数

数，求函数

值。讨论

解答：由

∵

又因为

于是

当当

且且

时，时，

，

的最大值行为习惯手抄报 等于，其单调递增区间是（

和

。

，－1）和

（0，1）；单调递减区间是

是偶函数，且在上是减函

的奇偶性。

的解析式，并讨论

的奇偶性时要注意对字母的讨论。在

上是减函数得

0，1。

，

分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取

。

。

是偶函数，∴只有当

，

为奇函好段好句 数；

时符合题意，故

。

为非奇非偶函数；

当当

且且

时，时，

为偶函数；

为既奇又偶函数。

在

上是增函数，且在定义域上

的解析式；

，使得函数

在

例6、已知幂函数

是偶函数。

（1）求的值，并写出相应的函数

（2）对于（1）中求得的函数区间

，设函数

上是增函数？若存在，请求

。问是否存在实数

上是减函数，且在区间

出的值；若不存在，请说明理由。

分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的

取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。

解答：（1）∵幂函数

∴

又∵

，∴

，则

，使得

。

∵

若在

在

时离职表模板 ，在区间

上是减函数，∴当

。上是减函数，且在区间

上是增函数，则

的对

上是增函数，此时二次函数

，时，

；当

∴

时符合题意，故

。

满足题设条件。令

，则

。

在

上是增函数，

在定义域上是偶函数，∴只有当

（2）由假设存在实数

上是减函数，且在

即

称轴方程是∴

。

故存在实数

，使得函数在区间上是减函数，且在区间

上是增函数。