期权定价模型

期权定价模型与⽆套利定价

期权定价模型与⽆套利定价 期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建⽴期权与其标的股票的组合来保证确定报

酬。在均衡时，此确定报酬必须得到⽆风险利率。期权的这⼀定价思想与⽆套利定价的思想是⼀致的。所谓⽆套利定价就是说

任何零投⼊的投资只能得到零回报，任何⾮零投⼊的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，⽽不能获得超额回

报（超过与风险相当的报酬的利润）。从Black-Scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是⽆套利定价。

B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件

⼀)B-S模型有5个重要的假设

1、⾦融资产收益率服从对数正态分布；

2、在期权有效期内，⽆风险利率和⾦融资产收益变量是恒定的；

3、市场⽆摩擦，即不存在税收和交易成本；

4、⾦融资产在期权有效期内⽆红利及其它所得(该假设后被放弃)；

5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

⼆)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式

C=S•N(D1)-L•E渐渐的英文 -T•N(D2)

其中:

D1=1NSL+(+22)T•T

D2=D1-•T

C—期权初始合理价格

L—期权交割价格

S—所交易⾦融资产现价

T—期权有效期

r—连续复利计⽆风险利率H

2—年度化⽅差

N()—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：

第⼀，该模型中⽆风险利率必须是连续复利形式。⼀个简单的或不连续的⽆风险利率(设为r0)⼀般是⼀年复利⼀次，⽽r要

求利率连续复利。r0必须转化为r⽅能代⼊上式计算。两者换算关系为:r=LN(1+r0)或r0=Er-1照片怎么改像素 。例如r0=0.06，则

r=LN(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第⼆年将获106，该结果与直接⽤r0=0.06计算的答大国1942 案⼀致。

第⼆，期权有效期T的相对数表⽰，即期权有效天数与⼀年365天的⽐值。如果期权有效期为100天，则

T=100365=0.274。

三）B-S期权定价推导运⽤

(⼀)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权⼊⼿的，对于⼀项看涨期权，其到期的期值是:E[G]=E[max(ST-L，O)]

其中，E[G]—看涨期权到期期望值ST—到期所交易⾦融资产的市场价值

L—期权交割(实施)价

到期有两种可能情况:1、如果STL，则期权实施以进帐(In-the-money)⽣效，且mAx(ST-L，O)=ST-L

2、如果ST<>

max(ST-L，O)=0

从⽽:E[CT]=P(E[ST|STL)+(1-P)O=P(E[ST|STL]-L)

其中:P—(STL)的概率E[ST|STL]—既定(STL)下ST的期望值将尽力的近义词 E[G]按有效期⽆风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价

格:C=PE-rT(E[ST|STL]-L)(*)这样期权定价转化为确定P和E[ST|STL]环保知识竞赛 。 ⾸先，

对收益进⾏定义。与利率⼀致，收益为⾦融资产期权交割⽇市场价格(ST)与现价(S)⽐值的对数值，即收益=1NSTS。由

假设1收益服从对数正态分布，即1NSTS～N(T，T2)，所以E[1N(STS]=T，STS～EN(T，T2)可以证明，相对价格期望

值⼤于ET，为:E[STS]=ET+T22=ET+2T2=ET从⽽，T=T(-22)，且有T=T其次，求(STL)的概率P，也即求收益

⼤于(LS)的概率。已知正态分布有性质:Pr06[]=1-N(-)其中:—正态分布随机变量—关键值—的期望值—的标准

差所以:P=Pr06[ST1]=Pr06[1NSTS]1NLS]=1N-1NLS2)TTNC4由对称性:1-N(D)=N(-D)P=N1NSL+(-22)TTArS第三，求既

定STL下ST的期望值。因为E[ST|ST]L]处于正态分布的L到∞范围，所以，E[ST|ST]=SETN(D1)N(D2)

其中:

D1=LNSL+(+22)TTD2=LNSL+(-22)TT=D1-T最后，

将P、E[ST|ST]L]代⼊(*)式整理得B-S定价模型:C=SN(D1)-LE-TN(D2)(⼆)B-S模型应⽤实例假设市场上某股票现价S为

164，⽆风险连续复利利率是0.0521，市场⽅差2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价

格计算步骤如下:

①求D1:D1=(1N164165+(0.052)+0.08412)0.09590.290.0959=0.0328

②求D2:D2=0.0328-0.290.0959=-0.570

③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120 N(-0.06)=0.4761

④求C:C=1640.5120-165E-0.05210.09590.4761=5.803

因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。

(三)看跌期权定价公式的推导B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期

权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交

割价为⾯值的⽆风险折扣发⾏债券具有同等价值，以公式表⽰为:

S+PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+)-T

移项得:PE(S，T，L)=CE(S，T，L)+L(1+)-T-S，将B-S模型代⼊整理得:P=LE-T[1-N(D2)]-S[1-N(D1)]此即为看跌期权

初始价格定价模型。 编辑此段

四）B-S期权定价模型发展

B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运⽤于⽀付红利的股票期权。(⼀)存在已知的

不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间T(即除息⽇)⽀付已知红利DT，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整

后的股票价值S′代⼊B-S模型中即可:S′=S-DTE-rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法⼀⼀减去。从⽽将B-S模型变型得

新公式:

C=(S-E-TN(D1)-LE-TN(D2)

(⼆)存在连续红利⽀付是指某股票以⼀已知分红率(设为)⽀付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率为0.04，该股

票现值为164，从⽽该年可望得红利164004= 6.56。值得注意的是，该红利并⾮分4季⽀付每季164；事实上，它是随美元

的极⼩单位连续不断的再投资⽽⾃然增长的，⼀年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的⽀付⽐例固定。

在此红利现值为:S(1-E-T)，所以S′=SE-T，以S′代S，得存在连续红利⽀付的期权定价公式:C=SE-TN(D1)-LE-TN(D2)

编辑此段

五）B-S期权定价模型影响

⾃B-S模型1973年⾸次在政治经济杂志(JournalofpoLiticalEconomy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识

到它的重要性，很快将B-S模型程序化输⼊计算机应⽤于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应⽤随着计算机、通讯技术

的进步⽽扩展。到今天，该模型以及它的⼀些变形已被期权交易商、投资银⾏、⾦融管理者、保险⼈等⼴泛使⽤。衍⽣⼯具的

扩展使国际⾦融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的⾦融⼯具的创造加强了市场与市场参与者的相

互依赖，不仅限于⼀国之内还涉及他国甚⾄多国。结果是⼀个市场或⼀个国家的波动或⾦融危机极有可能迅速的传导到其它国

家乃⾄整个世界经济之中。中国⾦融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改⾰的深⼊和向国际化靠拢，资本市场将不断发

展，汇兑制度⽇渐完善，企业也将拥有更多的⾃主权从⽽⾯临更⼤的风险。因此，对规避风险的⾦融衍⽣市场的培育是必需的，对衍⽣市场进⾏探索也是必要的，⼈们才刚刚起步。

[编辑本段]期权定价的⼆项式模型

1979年，科克斯（Cox）、罗斯（Ross)和卢宾斯坦（Rubintein）的论⽂《期权定价：⼀种简化⽅法》提出了⼆项式

模型（BinomialModel），该模型建⽴了期权定价数值法的基础，解决了美式期权定价的问题。

⼆项式模型的假设主要有：

1、不⽀付股票红利。

2、交易成本与税收为零。

3、投资者可以以⽆风险利率拆⼊或拆出资⾦。

4、市场⽆风险利率为常数。

5、股票的波动率为常数。

假设在任何⼀个给定时间，⾦融资产的价格教诲的读音 以事先规定的⽐例上升或下降。如果资产价格在时间ｔ的价格为Ｓ，它可能在

时间t+△t上升⾄uS或下降⾄dS。假定对应资产价格上升⾄uS，期权价格也上升⾄Cu，如果对应资产价格下降⾄dS，期权价

格也降⾄Cd。当⾦融资产只可能达到这两种价格时，这⼀顺序称为⼆项程序。