椭圆

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点

P

到两个定点

F

1

、

F

2的距离之和等于常数

(PF

1

PF

2

2aF

1

F

2

)

,这个动点

P

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点

的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若

PF

1

PF

2

F

1

F

2

，则动点

P

的轨迹为线段

F

1

F

2

；

若

PF

1

PF

2

F

1

F

2

，则动点

P

的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质

x

2

y

2

y

2

x2

椭圆：

2



2

1

(ab0)

与

2



2

1

(ab0)

的简单几何性质

abab

标准方程

图形

焦点

焦距

范围

性质

对称性

顶点

轴长

离心率

F

1

(c,0)

，

F

2

(c,0)

F

1

(0,c)

，

F

2

(0,c)

xa

，

yb

关于

x

轴、

y

轴和原点对称

xb

，

ya

(a,0)

，

(0,b)

(0,a)

，

(b,0)

长轴长=

2a

，短轴长=

2b

长半轴长=

a

，短半轴长=

b

（注意看清题目）

A1

F

1

A

2

F

2

ac

；

A

1

F

2

A

2

F

1

ac

；

acPF

1

ac

；

(p是椭圆上一点)（不等式告诉我高考英语作文万能模板 们椭圆上一点到焦点距离的范围）

注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心

率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1．椭圆标准方程中的三个量

a,b,c

的几何意义

b2

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长

2

a

a

2

b

2

c

2

焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，

F

1

PF

2

为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积

S

PF

1

F

2

btan

2



2

，其中



F

1

PF

2

（注意公式的推导）

5.求椭圆标准方程的步骤（待定系数法）．

(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上．

(2)设方程：

x

2

y

2

x

2

y2

①依据上述判断设方程为

2



2

=1

(ab0)

或

2



2

=1

(ab0)

abba

②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx

2

＋ny

2

＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．

(3)找关系，根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组．

(4)解方程组，代入所设方程即为所求．

6.点与椭圆的位置关系:

x

2

y

2

x

2

y

2

x

2

y2



<1,点在椭圆内；

2



2

=1，点在椭圆上；

2



2

>1,点在椭圆外。

a

2

b

2

abab

7.直线与椭圆的位置关系

设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax

2

＋bx＋c＝0(a≠0)．

(1)＞0，直线与椭圆有两个公共点；

(2)＝0，直线与椭圆有一个公共点；

(3)＜0，直线与椭圆无公共点．

8.弦长公式：（注意推导和理解）

若直线

l:ykxb

与圆锥曲线相交与

A

、

B

两点，

A（x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)则弦长

AB(x

1

x

2

)

2

(y

1

y

2

)

2

(x

1

x

2

)

2

(kx

1

kx

2

)

2

1k

2

x

1

x

2

1k

2

(x

1

x

2

)

2

4x

1

x

2

=

9.点差法：

就是在求解圆锥曲线题清淡的菜谱家常菜 目中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，

利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲癫痫发作急救 线的方程，并作差。求出直线的斜

率，然后利用中点求出直线方程。涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简

单．

步骤:①设直线和圆锥曲线交点为式：

②把

，，

．.

分别代入圆锥曲线的解析式，并作差，利用平方差公式对结果进

，

，其中点坐标为

，则得到关系

行因式分解．其结果为

m(x

1

x

2

)(x

1

x

2

)n(y

1

y

2

)(y

1

y

2

)0

③利用求出直线斜率,代入点斜羽毛球队 式得直线方程为

.

中点弦的重要结论（不要死记会推导）



xacos



10．参数方程



（



为参数）



几何意义：离心角

ybsin





11、椭圆切线的求法凉拌鲫鱼的做法川味

x

2

y

2

xxyy

1）切点（

x

0

y

0

）已知时，给姐姐的一封信

2



2

1(ab0)

切线

0

2



0

2

1

ab

ab

y

2

x

2

y

0

yx

0x

1(ab0)



2

1

切线

22

2

ab

ab

x

2

y2

2）切线斜率k已知时，

2



2

1(ab0)

切线

ykxa

2

k

2

b

2

ab

y2

x

2

222

1(ab0)

切线

ykxbka

2比较赚钱的行业 2

ab

12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离

x

2

y

2

1(ab0)

raex

0

（加减由长短决定）

a

2

b2

y

2

a2



2

1(ab0)

raey

0

（加减由长短决定）

2

ab

13．离心率的求法

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两

种方

14.焦点三角形的周长永远在路上心得体会 和面积的求法

利用定义求焦点三角形的周长和面积，解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理，

常

15.椭圆的范围或最值问题

知识点四：椭圆了解知识

1、椭圆面积：

S

椭





ab

2、椭圆的第二定义：