初中数学14．3乘法公式教案

14 ． 3 乘法公式

1 、两数和乘以它们的差

教学目标

1 ．能说出平方差公式的特点，并会用式子表示。

2 ．能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法。

3 ．通过平方差公式得出的过程，使学生 明白数 形结合的思想。

教学重难点

重点：掌握平方差公式的特点，牢记公式。

难点：具体问题要具体分析，会运用公式进行计算。

教学过程

一、新课引入。

王剑同学去商店买了单价是 9. 元 / 千克的糖块 10.2 千克 ，售货员刚拿起计算器，王剑就说出应付 99.6 元，结果与售货员计算出的结果相吻合。售货员惊讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快？”王剑同学说：“我利用了在数学上刚学过的一个公式。”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗 ? 你现在能算出来吗？学了本节之后，你就能解决这个问题了。

从而引出课题：平方差公式。

二、知识回顾。

1 ．多项式乘以多项式的法则： _______ 。

2 ．利用多项式与多项式的乘法法则说出 (x ＋ a)(x ＋ b) 的结果。

3 ．计算：

(1)(x ＋ 3)(x － 3) ； (2)(a ＋ 2b)(a － 2b) ；

(3)( 4 ＋ n)( 4 － n) ； (4)( ＋ 4y)( － 4y) 。

三、引导观察。

1 ．请你观察一下这几个多项式与多项式相乘的乘法式子，两个因式有什么特点 ? 积有什么特点？

2 ．这四个题目与 (x ＋ a)(x ＋ b)=x 2 ＋ (a ＋ b)x ＋ ab 有什么关系 ? 你还能再举出这样的几个例子来吗？ ( 引导学生发现：当 a= － b 时， (x ＋ a)(x ＋ b)=x 2 － b 2 ，从而得出平方差公式。 )

3 ．观察这个公式，你能说出它左边的特征吗？右边呢？

4 ．你能用图形来验证它的正确性吗？

．你能用语言叙述这个公式吗？

两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。

四、 学例及 应用。

1 ．例 1 计算： ( 课本例 1 。 )

(1)(a ＋ 3)(a － 3) ；

(2)( 2a ＋ 3b)( 2a － 3b) ；

(3)(1 ＋ 2 )(1 － 2 ) 。

( 教师要规范解题步骤。 )

2 ．练习。

课本第 2 页练习第 1 题。

3 ．例 2 计算： 199 × 2002 。 ( 课本例题 2 。 )

分析：这是一个数字计算问题，让学生分组讨论如何利用平方差公式进行计算。

在本 例教学 时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算，要让学生感受构造数学“模型”的乐趣。

4 ．练习。

课本第 2 页练习第 2 题的 (2) 。

．例 3

街心花园有一块边长为 a 米的正方形草坪，经统一规划后， 南北向要加长 2 米 ，而 东西向要缩短 2 米 。 问改造 后的长方形草坪的面积是多少 ?( 课本例 3 。 )

6 ．练习。

课本第 2 页练习的第 3 题。

五、课堂小结

1 、本节课你学到了什么？是否还有不明白的地方？

2 、注意：一定要记住公式的特点。

六、布置作业

课本 92 页第 3 题（ 3 ）（ 4 ） 4 页第 1 题的（ 3 ）（ 4 ）

2 、两数和的平方

教学目标

1 ．能说出两数和的 平方与 两数差的平方公式的特点，并会用式子表示。

2 ．能正确地利用两数和的 平方与 两数差的平方公式进行多项式的乘法。

3 ．通过两数和的 平方与 两数差的平方公式的得出，使学生 明白数 形结合的思想。教学重难点

重点：掌握公式的特点，牢记公式。

难点：具体问题具体分析，会用公式进行计算。

教学过程

一、复习活动。

1 ．说出平方差公式。

( 两数的和乘以这两数的差等于这两个数的平方差。 )

2 ． 计算： (x ＋ a)(x ＋ b) ＝＿＿＿＿＿＿。

二、引导观察。

1 ．在 (x ＋ a)(x ＋ b) 中，若 a ＝ b ，那么上述式子将会成为怎样的式子 ? 计算结果是什么 ?

( 学生回答：变为 (x ＋ a)(x ＋ a) ，计算结果是 x 2 ＋ 2ax ＋ a 2 。由此教师指 出可得另一个乘法公式即 (a ＋ b) 2 =a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 ，由引入课题。 )

2 ．这个公式的左边和右边各有什么特点 ?

( 引导学生观察，说出公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、完善。 )

3 ． (a ＋ b) 2 =a 2 ＋ b 2 对吗 ? 为什么 ?

( 强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误。 )

4 ．你会用 (a ＋ b) 2 =a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 计算 (a － b) 2 。

引导学生将“－ b ”看作 一 个数，将 (a － b) 2 化为 [a ＋ ( － b)] 2 =a 2 ＋ 2a × ( － b) ＋ ( － b) 2 =a 2 － 2ab ＋ b 2 ，并指出这也是一个乘法公式： (a － b) 2 = a 2 － 2ab ＋ b 2 。

．你能用图形验证： (a ＋ b) 2 =a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 及 (a － b) 2 =a 2 － 2ab ＋ b 2 吗？

在左图中，大正方形的面积是 (a ＋ b) 2 ，它由两个小正方形和两个相等的长方形组成的，两个小正方形的面积分别是 a 2 、 b 2 ，长方形的面积是 ab ，所以有等式 (a ＋ b) 2 =a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 。

在右图中，大正方形的面积是 a 2 ，两个小正方形的面积分别是 (a － b) 2 、 b 2 ，两个相等的长方形面积都是 (a － b) ? b ，于是有 a 2 =(a － b) 2 ＋ 2(a － b) ? b ＋ b 2 ，即 (a － b) 2 =a 2 － 2(a － b) ? b － b 2 =a 2 － 2ab ＋ b 2 。

( 让学生进一步感受“数形结合”的思想。 )

6 ．比较 (a ＋ b) 2 =a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 及 (a － b) 2 =a 2 － 2ab ＋ b 2 这两个公式，它们有什么不同 ? 有什么联系？

( 引导学生进一步总结公式的结构特点，公式的左边是两数和 ( 或差 ) 的平方，右边是一个三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的 2 倍。 )

三、举例及应用

1 、例 1 计算（课本例 4 ）

（ 1 ）（ 2a ＋ 3b ） 2 （ 2 ）（ 2a ＋ ） 2

2 、练习： 课本 4 页练习的第 1 题

3 、例 2 计算（课本例 ）

（ 1 ）（ a － b ） 2 （ 2 ）（ 2x － 3y ） 2

4 、练习： 课本第 4 页练习第 2 题

、例 3 利用完全平方公式进行计算

（ 1 ） 102 2 （ 2 ） 199 2

6 、你会用乘法公式计算吗？

（ 1 ）（ ＋ n ）（ － n ）（ 2 － n 2 ） （ 2 ）（ a ＋ b ＋ ） 2

先让学生讨论，再解答，交流体会。

7 、请你完成下面计算。

（ 1 ） 91 2 （ 2 ） 301 2 （ 3 ）（ x ＋ 2 ） 2 －（ x － 2 ） 2

四、课堂小结。

1 ．这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点。

2 ．公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式。

3 ．在解决具体问题时，要先考察题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算。

4 ．要特别注意一些易出现的错误，如： (a ± b) 2 =a 2 ± b 2 。

五、布置作业。

课本第 4 页习题 14.3 第 1 题的 (1) 、 (2) ，第 2 题的 (3) 。