初中数学1.3 蚂蚁怎样走最近教案

1 、创设问题情境，引入新课：

前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？

例如：欲登 12 米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物 米，至少需多长的梯子？

根据题意， ( 如图 )A 是建筑物，则 A = 12 米 ， B = 米 ， AB 是梯子的长度．所以在 Rt △ AB 中， AB 2 = A 2 +B 2 = 12 2 + 2 = 13 2 ； AB = 13 米 ．

所以至少需 13 米 长的梯子．

2 、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近

出示问题：有一个圆柱，它的高等于 12 厘米，底面半径等于 3 厘米．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的 B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？ ( π的值取 3) ．

（ 1 ）同学们可自己做一个圆柱，尝试从 A 点到 B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）

（ 2 ）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从 A 点到 B 点的最短路线是什么 ? 你画对了吗 ?

（ 3 ）蚂蚁从 A 点出发，想吃到 B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）

我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形．好了，现在咱们就用剪刀沿母线 AA ′将圆柱的侧面展开 ( 如下图 ) ．

我们不难发现，刚才几位同学的走法：

(1)A → A ′→ B ； (2)A → B ′→ B ；

(3)A → D → B ； (4)A ?→ B ．

哪条路线是最短呢？你画对了吗？

第 (4) 条路线最短．因为“两点之间的连线中线段最短”．

②、做一做：教材 14 页。李叔叔随身只带卷尺检测 AD ， B 是否与底边 AB 垂直，也就是要检测 ∠ DAB = 90 °，∠ BA = 90 °．连结 BD 或 A ，也就是要检测△ DAB 和△ BA 是否为直角三角形．很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．

③、随堂练习

1 ．甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险．某日早晨 ∶ 00 甲先出发，他以 6 千米 / 时的速度向东行走． 1 时后乙出发，他以 千米 / 时的速度向北行进．上午 10 ∶ 00 ，甲、乙两人相距多远？

2 ．如图，有一个高 1. 米 ，半径是 1 米 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是 0. 米 ，问这根铁棒应有多长？

1 ．分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型．

解： ( 如图 ) 根据题意，可知 A 是甲、乙的出发点， 10 ∶ 00 时甲到达 B 点，则 AB = 2 × 6 = 12( 千米 ) ；乙到达 点，则 A = 1 × = ( 千米 ) ．

在 Rt △ AB 中， B 2 =A 2 +AB 2 = 2 +12 2 = 169 = 13 2 ，所以 B = 13 千米 ．即甲、乙两人相距 13 千米 ．

2 ．分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的 A 点处，铁棒最短时是垂直于底面时．

解：设伸入油桶中的长度为 x 米，则应求最长时和最短时的值．

(1)x 2 = 1. 2 +2 2 ， x 2 = 6.2 ， x = 2.

所以最长是 2.+0. =3( 米 ) ．

(2)x = 1. ，最短是 1.+0. = 2( 米 ) ．

答：这根铁棒的长应在 2~3 米之间 ( 包含 2 米、 3 米 ) ．

3 ．试一试

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？

我们可以将这个实际问题转化成数学模型．

解：如图，设水深为 x 尺，则芦苇长为 (x+1) 尺，由勾股定理可求得

(x+1) 2 = x 2 + 2 ， x 2 +2x+1 = x 2 +2

解得 x=12

则水池的深度为 12 尺，芦苇长 13 尺．

④、课时小结

这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题．我们从中可以发现用数学知识解决这些实际问题，更为重要的是将它们转化成数学模型．

教学反思： 这节的内容综合性比较强，可能有些同学掌握的不是太好。