初中数学 一元一次方程 教案

因式分解是初中代数的重要内容，因其分解方法较多，题型变化较大，教学有一定难度。转化思想是数学的重要解题思想，对于灵活较大的题型进行因式分解，应用转化思想，有章可循，易于理解掌握，能收到较好的效果。

因式分解的基本方法是：提取公因式法、应用公式法、十字相乘法。对于结构比较简单的题型可直接应用它们来进行因式分解，学生能够容易掌握与应用。但对于分组分解法、折项、添项法就有些把握不住，应用转化就思想就能起到关键的作用。

分组分解法实质是一种手段，通过分组，每组采用三种基本方法进行因式分解，从而达到分组的目的，这就利用了转换思想。看下面几例：

例1、   4a 2 +2ab+2a+b

解:原式 =（4a 2 +2ab）+(2a+b)

=2a(2a+b)+(2a+b)

=(2a+b)(2a+)

分组后，每组提出公因式后，产生新的公因式能够继续分解因式，从而达到分解目的。

例2、   4a 2 -4a-b 2 -2b

解:原式=(4a 2 -b 2 )-(4a+2b)

=(2a+b)(2a-b)-2(2a+b)

=(2a+b)(2a-b-2)

按“二、二”分组，每组应用提公因式法，或用平方差公式，从而继续分解因式。

例3、   x 2 -y 2 + 2 -2x

解:原式=(x 2 -2x+ 2 )-y 2

=(x- 2 )-y 2

=(x+y-)(x-y-)

四项式按“三一”分组，使三项一组应用完全平方式，再应用平方差进行因式分解。

对于五项式一般可采用“三二”分组。三项这一组可采用提公因式法、完全平方式或十字相乘法，二项这一组可采用提公因式法或平方差公式分解，因此变化性较大。

例4、   x 2 -4xy+4y 2 -x+2y

解:原式=(x 2 -4xy+4y 2 )-(x-2y)

=(x-2y) 2 -(x-2y)

=(x-2y)(x-2y-1)

例、   a 2 -b 2 +4a+2b+3

解:原式=(a 2 +4a+4)-(b 2 -2b+1)

=(a+2) 2 -(b-1) 2

=(a+2+b-1)(a+2-b+1)

=(a+b+1)(a-b+3)

对于六项式可进行“二、二、二”分组，“三、三”分组，或“三、二、一”分组。

例6、   ax 2 -axy+bx 2 -bxy-x 2 +xy

①解:原式=(ax 2 -axy)+(bx 2 -bxy)-(x 2 -xy)

=ax(x-y)+bx(x-y)-x(x-y)

=(x-y)(ax+bx-x)

=x(x-y)(a+b-)

②解:原式=(ax 2 +bx 2 -x 2 )-(axy+bxy-xy)

=x 2 (a+b-)-xy(a+b-)

=x(x-y)(a+b-)

例7、   x 2 -2xy+y 2 +2x-2y+1

解:原式=(x 2 -2xy+y 2 )+(2x-2y)+1

=(x-y) 2 +2(x-y)+1

=(x-y+1) 2

对于折项、添项法也可转化成这三种基本的方法来进行因式分解。

例、   x 4 +4y 4

解:原式=(x 4 +4x 2 y 2 +4y 4 )-4x 2 y 2

=(x 2 +2y 2 )2-4x 2 y 2

=(x 2 +2xy+2y 2 )(x 2 -2xy+2y 2 )

例9、   x 4 -23x 2 +1

解:原式=x 4 +2x 2 +1-2x 2

=(x 2 +1) 2 -2x 2

=(x 2 -x+1)(x 2 +x+1)

又如x 3 -7x-6可用折项、添项多种方法分解因式:

⑴x 3 -7x-6=(x 3 -x)-(6x+6)

⑵x 3 -7x-6=(x 3 -4x)-(3x+6)

⑶x 3 -7x-6=(x 3 +2x 2 +x)-(2x 2 +x+6)

⑷x 3 -7x-6=(x 3 -6x 2 -7x)+(6x 2 -6)

只有掌握好三种基本的因式分解方法，才能应用转化思想处理灵活性较大、技巧性较强的题型。

本文有些内容超出大纲，但由于强调转化，既巩固知识，又开阔视野，对因式分解这一章会起到一定