初中数学 全面调查举例教案 教案

使学生学会用量角器等分圆周的方法；熟练地掌握用尺规将圆周六、三、十二、四、八等分．

尺规等分圆周是重点，特别是将圆周四等分、六等分更为重要．

正n边形的中心角是多少？正六边形的边长是多少？

前面我们讲过，任意一个正n边形都有一个外接圆，并且正n边形的n个顶点把圆n等分．因此，正n边形的作图问题，实质上就是把它的外接圆n等分问题，把圆n等分后，依次连结各分点就得到正n边形．这节课我们主要学习如何把圆周三、六、十二、四、八等分．

等分圆周的方法有两种：

1．使用量角器法

n等份，从而把圆周分成n等份，依次连结各分点，即得到圆内接正n边形．

由于在度量正n边形的中心角时易有误差，所以使用量角器法是近似等分圆周的方法，在精确度要求不高的情况下可以使用量角器法．

2．尺规作图法

由于受尺规作图的限制，不能用尺规任意等分圆周，只能对于一些特殊的正n边形采用尺规作图法．尺规作图法比较准确．

(1)正四、八边形的作图；

正四边形的作法：

如图1，①作直径A⊥BD；

②依次连结AB、B、D、DA．

则四边形的ABD即为所求作的正四边形．

证明：∵直径A⊥BD，

∴∠AB=∠B=∠D=∠DA=90°，

∴A、B、、D是⊙的四等分点，

∴四边形ABD是正四边形．

正八边形的作法：

如图2，①作直径A⊥BD；

②作∠AB、∠B的平分线交⊙于E、F点．

③延长E、F交⊙于、H点；

④依次连结AE、EB、BF、F、、D、DH、HA．

则八边形AEBFDH即为所求作的正八边形．

证明：∵直径A⊥BD，

∴∠AB=∠B=∠D=∠DA=90°

∵ E、F分别平分∠AB、∠B，

∴∠1=∠2=∠3=∠4．

∵ ∠1=∠，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠=∠6=∠7=∠，

∴八边形AEBFDH为正八边形．

(2)正六、三、十二边形的作图

正六边形的作法：

如图3，①作直径AD；

②分别为A、D为圆心，以⊙半径A为半径画弧交⊙于B、F、、E；

③依次连结AB、B、D、DE、EF、FA．

则六边形ABDEF即为所求作的正六边形．

证明：连结B、、E、F．

∵AB=A=B，

∴∠1=60°

同理 ∠2=∠3=∠4=60°．

∵∠AD=10°，

∴∠=∠6=60°．

∴∠1=∠=∠3=∠4=∠6=∠2．

∴六边形ABDEF是正六边形．

正三角形的作法：

如图4，①作直径AD；

②以D为圆心，以⊙半径为半径画弧交⊙于B、点；

③依次连结AB、B、A．

则△AB即为所求作的正三角形．

证明：连结B、、BD、D．

∵BD=D=B，

∴∠BD=60°．

同理 ∠D=60°

∴∠B=120°．

∵∠AD=10°，

∴∠AB=∠A=120°．

∵ ∠AB=∠B=∠A，

则△AB为正三角形．

说明：利用二等分三角形各中心角的方法也可以得到正六边形，但是这样产生的误差较大．

正十二边形的作法：

如图，①作直径A⊥DQ；

②分别以A、D、、Q为圆心，以⊙半径为半径画弧分别交⊙于、R、B、F、E、P、H、S点；

③依次连结AB、B、D、DE、…、SA．

则十二边形ABD……S即为所求作的正十二边形．

证明：连结A、B、、E、…、S．

∵A=A=，

∴∠A=60°．

∵直径A⊥DQ，

∴∠AD=90°，

∴∠D=30°．

同理 ∠AB=30°，

∴∠B=30°．

同理 ∠DE=…=∠SA=30°．

∴∠AB=∠B=∠D=∠DE=…=∠SA，

∴十二边形ABDE…S为正十二边形．

说明：这里介绍的正十二边形的作法，比起利用二等分正六边形的各中心角的方法作正十二边形较为精确．

当然，如果把正八边形、正十二边形的各中心角二等分，那么也可以作出正十六边形、正二十四边形，但这样作误差可能大些．

注意：在用尺规作正多边形时，为了减少累积误差，应尽量避免从圆上某一点开始连续截取等弧的方法．

小结：这节课我们着重研究了用尺规作特殊的正多边形的方法．通过作图，大家进一步体会到作正n边形的实质就是将圆n等分的问题．在生产实践中，常常会遇到等分圆周的问题，所以希望大家一定要掌握好这些基本的正多边形的作法．

1．用量角器画一个半径为2的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出正五角星．

2．(1)画一个半径为2的正九边形；

(2)画一个边心距为2的正六边形．

3．尺规作图：

(1)作半径为2的⊙内接正八边形；

(2)作半径为2的⊙内接正十二边形．

4．已知⊙和⊙上的一点A，

(1)作⊙的内接正方形ABD和内接正六边形AEFH；

作业答案： (略)．