巧用“循环节”解题

题目：0.A(·)BC(·)是一个纯循环小数（A、B、C表示数字），已知小数点右边前1000位上，各数字之和是4664，且字母A、B、C中表示的数字有两个是相等的。请问：A、B、C各表示数字几？

分析与解：这是一道“周期问题”的变式题。从题目中可以知道，该循环小数的循环节是“ABC”，因此我们可以写下小数点右边前1000位上的数字，依次为ABCABCABCABC……，用1000÷3＝333（周）……1，求出前1000位中有333组“ABC”并余1，即知第1000位上的字母为A，所以前1000位中出现了333＋1＝334个A，333个B和333个C。已知这些数位上的数字之和是4664，用4664÷333＝14……2，求出每组中A＋B＋C＝14，而余数2也就是第1000位上的A，因此A＝2，B＋C＝14－2＝12。

根据条件“字母A、B、C中表示的数字有两个是相等的”，先假设B、C中有一个与A相等，那么另一个必定为12－2＝10，但我们知道在一个数位上只能有一个数字，显然不可能出现10，原来的假设不成立，而只有当B＝C＝12÷2＝6时才符合题意。因此，这题的解为A＝2，B＝C＝6。