奥数探秘之梅涅劳斯定理

梅涅劳斯定理

简介

梅涅劳斯(Menelaus)定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

证明一：

过点A作AG∥BC交DF的延长线于G,

则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

证明二：

过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在△ABC的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线

梅涅劳斯(Menelaus)定理

证明三：

过ABC三点向三边引垂线AA'BB'CC'，

所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'

所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

记忆

ABC为三个顶点，DEF为三个分点

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)*(顶到分/分到顶)=1

空间感好的人可以这么记：(上1/下1)*(整/右)*(下2/上2)=1

实际应用

为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。

我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。

例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。

另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。

从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：

方案 ① ——从A经过B(不停留)到F(停留)，再返回B(停留)，再到D(停留)，之后经过B(不停留)到C(停留)，再到E(停留)，最后从E经过C(不停留)回到出发点A。

按照这个方案，可以写出关系式：

(AF：FB)*(BD：DC)*(CE：EA)=1。

现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。

从A点出发的旅游方案还有：

方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：

(AB：BF)*(FD：DE)*(EC：CA)=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有：

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：

(AC：CE)*(ED：DF)*(FB：BA)=1。 从A出发还有最后一个方案：

方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：

(AE：EC)*(CD：DB)*(BF：FA)=1。

我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。

值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。

不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。

还可以从逆时针来看，从第一个顶点到逆时针的第一个交点比上到下一个顶点的距离，以此类推，可得到三个比例，它们的乘积为1.