奥数探秘之棣莫弗定理

    棣莫弗(de Moivre)定理 设两个复数(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),则:

Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

证:先讲一下复数的三角形式的概念.在复数平面上,可以用向量Z(a,b)来表示Z=a+ib.于是,该向量可以分成两个在实轴,虚轴上的分向量.如果向量Z与实轴的夹角为θ,这两个分向量的模分别等于rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,复数Z可以表示为Z=r(cosθ+isinθ).这里θ称为复数Z的辐角.

因为Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以

Z1Z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)

=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)

=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]

=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

其实该定理可以推广为一般形式:

棣莫弗定理的推广 设n个复数Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，Zn=rn(cosθn+isinθn), 则：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)].

证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。

如果把棣莫弗定理和欧拉(Euler)公式“e^iθ=cosθ+isinθ”(参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析)放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。

利用棣莫弗定理有：

Z1Z2……Zn=r1r2……rn[cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)]

如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2,……，Zn=rne^iθn,

Z1Z2……Zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn)

这和指数的可加性一致.

在一般形式中如果令Z1=Z2=……=Zn=Z,则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.