孙宁老师讲鸡兔同笼问题

基本问题：

“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》中。许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。

例题1：有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？

法一：

解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是

244÷2=122（只）。

在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数

122-88=34，

有34只兔子。当然鸡就有54只。

答：有兔子34只，鸡54只。

上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2-总头数=兔子数。

上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍。可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类问题给出一种一般解法。

法二：

还说例题1。

如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了

88×4-244=108（只）。

每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡

（88×4-244）÷（4-2）=54（只）。

说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子。而是鸡。

当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了

244-176=68（只）。

每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，

68÷2=34（只）。

说明设想中的“鸡”，有34只是兔子。

假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，称为“假设法”

法三：

根据假设法还可以推到出直接求解的公式：

鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）

兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）

上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。

法四：

有时候用假设法，有些同学到后来，不知道是鸡换兔，还是兔换鸡，背公式还太麻烦，因此，五年之以后学了方程解应用题，我们还可以列方程进行求解。

以上是鸡兔同笼的基本问题，还有一些变形问题：

例1：有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元。结果得到运费379。6元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？

解:如果没有破损,运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）。因此破损只数是

（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）。

答:这次搬运中破损了17只玻璃瓶。

请你想一想,这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？

例2：蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只,有118条腿和20对翅膀。每种小虫各几只

解:因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以从腿的数目来考虑,可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。利用公式就可以算出8条腿的

蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）=5（只）。

因此就知道6条腿的小虫共

18-5=13（只）。

也就是蜻蜓和蝉共有13只,它们共有20对翅膀。再利用一次公式

蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）。

因此蜻蜓数是13-6=7（只）。

答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蝉。

例3： 某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人

解:对2道,3道,4道题的人共有

52-7-6=39（人）。

他们共做对

181-1×7-5×6=144（道）。

由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对2。5道题的人（（2+3）÷2=2。5）。这样

兔脚数=4,鸡脚数=2.5,

总脚数=144,总头数=39。

对4道题的有

（144-2.5×39）÷（4-2.5）=31（人）

答:做对4道题的有31人。

例4： 学校组织新年游艺晚会,用于奖品的铅笔,圆珠笔和钢笔共232支,共花了300元。其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0。60元,圆珠笔每支2。7元,钢笔每支6。3元。问三种笔各有多少支

解:从条件“铅笔数量是圆珠笔的4倍”,这两种笔可并成一种笔,四支铅笔和一支圆珠笔成一组,这一组的笔,每支价格算作

（0.60×4+2.7）÷5=1.02（元）。

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用“鸡兔同笼”公式可算出,钢笔支数是

（300-1.02×232）÷（6.3-1.02）=12（支）。

铅笔和圆珠笔共

232-12=220（支）。

其中圆珠笔

220÷（4+1）=44（支）。

铅笔220-44=176（支）。

答:其中钢笔12支,圆珠笔44支,铅笔176支。

例5： 商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个1。5元,小球每个1元。张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多。问每种球各买几个

解:因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍。我们设想买中球,小球钱中各出3元。就可买2个中球,3个小球。因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

（1.5×2+1×3）÷（2+3）=1.2（元）。

从公式可算出,大球个数是

（120-1.2×55）÷（3-1.2）=30（个）

买中,小球钱数各是

（120-30×3）÷2=15（元）。

可买10个中球,15个小球。

答:买大球30个,中球10个,小球15个。

例6： 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍。那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？

解：4年后，两人年龄和都要加8。此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86。我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数。25是“总头数”。86是“总脚数”。根据公式，兄的年龄是

（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）。

1998年，兄年龄是

14-4=10（岁）。

父年龄是

（25-14）×4-4=40（岁）。

因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是

（40-10）÷（3-1）=15（岁）。

这是2003年。

答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍。

以上的变型问题，请同学们认真体会，看看其中的鸡兔同笼原理是如何应用的。尤其是例题5，运用的很巧妙。