鸡兔同笼问题及其几类变形

   "鸡兔同笼"问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？"

一、基本问题

就是如《孙子算经》中给出的一样，知道总头和总脚，求分量。

有的书中会给出解决这类鸡兔同笼的基本关系式(公式)：

鸡数=（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）

兔数=（总脚数－鸡脚数×总头数）÷（兔脚数－鸡脚数）

结果许多孩子以为这就是解决鸡兔同笼的公式，一遇到这种题目就生搬硬套，结果碰到变式就找不到"脚、头"。其实这类问题考察的就是假设的思想，所以我从不主张孩子们记住这两个式子，而是通过例题让他们体会这种思想，只要思想掌握了，那么就可以"百题一解"了。

二、鸡兔同笼的变形有两类：

1、将鸡兔的总头数和总脚数种的"和"变成""差，有三种情形：

①已知鸡兔头数之差和总脚数，求鸡兔；

②已知鸡兔脚数之差和总头数，求鸡兔；

③已知鸡兔头数之差和脚数之差，求鸡兔；

2、将基本问题中的鸡兔变成两种不同的东西，或者变成三种、四种不同的东西。

对于这两种变形，都可以转化为基本问题来解。

特别是后者，多种不同的物品，考虑采用"捆绑法"，将有共同特征的几种物体"捆绑"到一起，看成一种，再转化成基本问题。

例１求解《孙子算经》中的基本问题：

假设35只全是鸡，则有35×2=70只脚…………假设

而实际有94只脚，少算了94－70=24只脚…………比较

原因是每只兔子少算了4－2=2只脚，所以有兔子24÷2=12只，

鸡35－12=23只…………推理得结果

例2鸡兔共有40只，鸡脚数比兔脚数少70，鸡兔各有多少只？

解：假设再补上70只鸡脚，即再增加35只鸡，…………假设

那么鸡兔脚数相同，此时鸡数是兔子只数的两倍，问题转化为和倍问题，

所以兔子有：(40+35)÷(2+1)=25只，

鸡有40－25=15只…………推理得结果

例3一些奇异的动物在草坪上聚会，有独角兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）。如果草坪上的动物共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，那么其中独角兽有只？

（2009年"迎春杯"小学四年级初试第8题）

分析：多种动物的鸡兔同笼问题，要用"捆绑法"，关键是将有共同特征的动物先看成一种，从而将动物种类减少。题目中有一句话"四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍"，这是一个有用的暗示，二者肯定有关系。再观察它们头和脚的情况，发现这样一个有趣的现象：

如果我用○代表1只双头龙，△代表1只四脚蛇，那么因四脚蛇的数量恰好是双头龙的2倍，则有下面对应关系：

将1只双头龙和2只四脚蛇"捆"到一起，发现它们每一"捆"共有4头12脚，恰好可以看成4只三脚猫。这样就转化为只有两种动物了：独角兽（1头1脚）和三脚猫（1头3脚）共有头58，脚160。

假设58只全是三脚猫，那么应该有58×3＝174（只）脚，…………假设

但现在只有160只，多算了174－160=14（只）脚，…………比较

是因为1只独角兽只有1只脚，看成三脚猫后每一只多算了3－1=2只脚，

所以独角兽有14÷2=7(只)。…………推理得结果

小结：鸡兔同笼的问题有许多，但基本思想几乎都用到假设，再结合和、差、倍的方法，一般可以得到解决。解题基本脉络既是：假设→假设的结果与所给条件比较→推理，得出差异的原因→求解得结果。