神秘有趣的质数骨牌

在数学兴趣班上，刘老师给大家出示了这样一副图（如图1）：在5×5的方格中分别填进了连续自然数1、2、3、4……、25。同学们，你们看这些数的填法有什么奥妙吗？张依说："相邻的两个数都是一个奇数、一个偶数。"刘老师补充说明："同学们说的很对。大家仔细观察各横排或竖排，我们把任何相邻的两格组在一起叫一张骨牌（如图1-1），那么每张骨牌上两数之和都很特别，你们发现了吗？""每张骨牌上两数之和都是质数"焦朗强着说，"比如8+5=13、21+8=29、8+11=19"

从5×5的方阵出发，取横排相邻两格，或竖排相邻两格，可以组成40张骨牌（同学们已算出，即：（4+5）×4+4=40）。而且很容易验证，其中每张牌上的两数之和都是质数，因而我们得到了一副质数骨牌。

同学们你能在2×2的方格中填上1-4连续四个自然数，使它成为一副质数骨牌吗？张笛很快就找到了答案（如图2），这里一共有4张骨牌，每张排的两数之和是1+2=3、2+3=5、3+4=7、1+4=5。张依提出问题："老师我用2-5四个连续自然数能不能填在方格里制成一副质数骨牌呢？"大家试试看行吗？…………

同学们经过大量的实验后觉得不行，"好像不行，可为什么呢？"我们把四个数写在一行，会发现它们组成的每张骨牌的数字和，实际就是1、2、3、4四个数两两之和，（即1+2，2+3，3+4，4+1四组和），而且所有相邻的四个数都是如此。因此我们可以得到这样一个结论："这四组和中至少有一组2个数的和是3的倍数且不是3，即是合数。"（可以用抽屉原则和同余的方法来证明）所以不可能组成质数骨牌。

同学们的兴致越来越高，他们又开始研究3×3的方格中（如图3）填1-9九个连续自然数的质数骨牌了。同学们实验了很久好象还是不行。"老师这种情况就是不行"杨宇辰说："1-9九个数中有5个奇数，4个偶数，骨牌中相邻的2个数不能是同奇或同偶，所以中间的方格必是奇数（如图3-1），它与其他四个偶数的和必须是质数，而1-9中（奇数1、3、5、7、9，偶数有2、4、6、8）经过实验没有一个奇数能分别与这四个偶数的和都是质数。所以1-9不能制成质数骨牌。

那么其他九个连续的自然数能否制成质数骨牌呢？如：2、3、4、5、6、7、8、9、10或13、14、15、16、17、18、19、20、21。结果也是不可以的，我们把所有的情况，分为两种情况：①5个奇数、4个偶数②5个偶数、4个奇数。通过验证可以得到以下结论：

①对于任何一个奇数，都会存在至少一个偶数使它们的和是合数

②对于任何一个偶数，也都会存在至少一个奇数使它们的和是合数

所以任何九个连续的自然数都无法制成一副质数骨牌。

兴趣小组的同学通过这些练习增长了很多见识，他们的数学逻辑思维能力也得到了很

大的提高。同学们你们想不想也试试自己制作一副质数骨牌呢？请试着在4×4的方格中填入1-16十六个连续的自然数使它成为质数骨牌。（如图4供大家参考）

学而思教师：刘弋戈