名师秘笈：决战小升初赛场，得数论者得天下！

数学之美在于数字，而数字之美在于数论。有人说：数论就是这样一种东西，她提醒你数学有无形的灵魂，她赋予她所发现的真理以生命，她唤起心神，涤尽我们的蒙昧与无知。纵观现今北京市小升初考试，数学科中数论的考点可达试卷的三分之一。可以这样说，决战小升初赛场，得数论者得天下。然，相当一部分孩子们面对试题，又常常困惑，不知开启智慧之门的钥匙该到何处寻求。这里，我们以一道普通的六年级数论习题和大家一道探讨下数论的学习方法。

例：求证  5个整数中肯定能找到3个数，使这3个数的和是3的倍数。

一、万丈高楼平地起

重视基础知识是一切学习方法的根本。基础知识的学习过程中，死记硬背不是目的。生硬的记忆只能告诉我们眼前的东西是什么，却不能告诉我们为什么是什么。如此，知识在脑海中仅仅是有关别人的记忆，而无法成为自己的智慧。学习数论知识，一定要有打破沙锅问到底的精神，最好是自己可以动手把所有的定理、性质都研究一遍，弄清所以，只有这样，才能把知识真正的据为己有，丢不了，忘不掉。

基础知识的学习还有很重要的一点就是要学会把知识点连成线，把线织成网。数学源自生活，而数论却起源与数字。抽象性强是数论的最大特征。我们在学习的过程中应当将其取之抽象而还之于形，理解记忆于形而运筹帷幄于抽象。小学阶段，数论部分的内容大致可以分为如下几块：

整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征

余数问题：（1）带余除式的运用     被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）

（2）同余的性质和运用

奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算

质数合数：（1）质因数的分解

约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理

（2）约数个数决定法则

完全平方数：（1）完全平方数的概念；（2）性质

知识点千丝万缕无非也是源自这六个板块。建议大家可以自己动手画个树图，以这六个部分为主干，相关知识做枝叶，你会发现，纵有万缕千丝最后也不过是结成了一张网。而这张网就是数论之形。当这张网在你的脑海中挥之不去，你也就定然可以对知识点运用自如。

回到我们的例题，请想想看，想建好这栋楼，要用到哪些知识呢？

二、用数学的思维思考，用数学的语言说话

数学思维是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学思维主要表现在思维活动的运演方面，有数学的特点和操作方式。具体说，数学思维有三个特点：概括性，问题性，相似性，这里的概括性、问题性（包括“为什么，以及问题的构造和解决方案”），不是通常意义上的概括性和问题性，对数学有足够理解的人才能都体会；相似性是指思维成果上的相似性、一致性、不矛盾性，不同于其他学科的思维成果。数学思维目的性强，逻辑脉络清楚，数学语言简明通达，表意层次分明。学会用数学思维思考，用数学语言表述是学好数论的必要条件。

通常，我们在思考数论问题的时候，有这样两种思考方法：

（1）已知--由已知得到的--由得到的而得到的--结论

（2）结论--想知道结论而必须知道的--必须知道的而可以知道的--已知

显而易见，一种方法是由已知出发得出结论，而另一种方法是由结论出发得出已知。两种方法，择优而思。以例题为例：

5个整数中肯定能找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，重点在3个数的和是3的倍数上。那么，要想知道3个数的和是3的倍数，我们有两种方法：（1）找到的3个数的和的各个数位之和可以被3整除；（2）利用余数。显然在这道题里我们应该选择（2）。任意一个数被3除，余数可以有：0、1、2三种情况。而当五个数中有3个或者3个以上能被三整除的，拿出这些被整除的数中任意3个作和，结果可以被3整除；当五个数中有3个或者3个以上能被三除余1的，拿出这些被3除余1的数中任意3个作和，结果可以被3整除；当五个数中有3个或者3个以上能被三除余2的，拿出这些被3除余2的数中任意3个作和，结果可以被3整除。如果上述情况都没有，即5个数中被3整除的数少于3个，被3除余1的数也少于3个，被3除余2的数也少于三个，那么，上述条件下，5个数中被3除余数为0、1、2的三种情况必然同时存在，此时取被3除余数分别为0、1、2的三个数相加，结果也必然能被3整除。有了这样的思考，我们为本题做答如下：

证明： 根据整数除以3所得的余数把整数分为3类。5个整数有以下两种情况：①如果5个数中每个类的数都有，则每类各取一个，3个数的和是3的倍数；②如果5个数都不属于某个类，则至少有3个同属于另外的类，则取这3个数，这3个数的和是3的倍数。所以，5个整数中肯定能找到3个数，使这3个数的和是3的倍数。

三、数学是自由的

数学是自由的，所以她准许我们大胆的玩弄，想像与猜测。

要想学好数论，就要学会顺藤摸瓜，顺着题目的腾大胆的四面八方的自由的爬。依然以例题为例：当我们知道5个整数中肯定能找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，脑海中就有了如下的简图：5→3→3，样子有些象等式，那么如果在每一项上都加上3得到的是8→6→3还是8→6→6呢？于是，有了这样的命题：（1）8个整数中肯定能找到6个数，使这6个数的和是3的倍数；（2）8个整数中肯定能找到6个数，使这6个数的和是6的倍数。用与例题类似的方法，可以证明命题（1）是正确的。与命题（1）类似，也可以有这样一个命题（3），11个整数中肯定能找到9个数，使这9个数的和是3的倍数。

例题如果仅仅只能得到这些，似乎显的太狭隘一些。再看5→3→3，很容易想到这样一个命题（4）：3个整数中肯定能找到2个数，它们的和是2的倍数。3个数除以2的余数至少有两个是相同的，这两个数之和当然是2的倍数。现在把5→3→3和3→2→2放在一起，又可以想到命题（5）：7个整数中肯定能找到4个数，它们的和是4的倍数。这个命题的正确性也很好证明：

证明：由命题（4），其中肯定存在两个数a+b=2A；对于剩下的5个数应用命题（4），其中肯定存在两个数c+d=2B；然后对剩的3个数再次应用命题（4），其中肯定存在两个数e+f=2C。最后，对A、B、C应用命题（4），得到其中肯定存在两个数之和为偶数的情况，不妨设A+B是偶数，则相应的a+b+c+d=2(A+B)，必是4的倍数。由此，命题得证。

至此，我们做个大胆的猜想，2n-1个整数中肯定能找到n个数，这n个数的和是n的倍数。 证明的方法也不是很难，你能做出来吗？

自由的数学只有放任思想自由才可以得到精髓。要学好数论关键在于你要保持头脑的清醒，敢于想像，猜测，积极论证你的想法和结论。

有人说学习有三个境界：

（一）是昨夜西风凋碧树，独上高楼望尽天涯路

（二）是衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴

（三）是众里寻她千百度，募然回首，那人却在灯火阑珊处

数论的学习过程中一样也要经过这三个阶段。掌握一定的技巧方法，经过一定量习题的粹炼，勤于思考，善于思考，相信这样的你一定能够达到自己所期望的目标。数论是有魔力的，若是“众里寻她千百度，募然回首，那人却在灯火阑珊处”，我更相信，你会义无返顾的爱上这“数学之后”！