趣味数学：趣谈“九连环与格雷码”

九连环的解法 九连环的历史 分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。 第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。 00000－00000－0－00000 10000－00001－1－00001 11000－00011－2－00010 01000－00010－3－00011 01100－00110－4－00100 11100－00111－5－00101 10100－00101－6－00110 00100－00100－7－00111 00110－01100－8－01000 10110－01101－9－01001 11110－01111－10－01010 01110－01110－11－01011 01010－01010－12－01100 11010－01011－13－01101 10010－01001－14－01110 00010－01000－15－01111 00011－11000－16－10000 10011－11001－17－10001 11011－11011－18－10010 01011－11010－19－10011 01111－11110－20－10100 11111－11111－21－10101 我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码！ 这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是 10111－11101－22－10110 00111－11100－23－10111 00101－10100－24－11000 10101－10101－25－11001 11101－10111－26－11010 01101－10110－27－11011 01001－10010－28－11100 11001－10011－29－11101 10001－10001－30－11110 00001－10000－31－11111 这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。 注 由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变（0变为1，1变为0）。例，二进制数11011的格雷码是10110. 由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变。 例 格雷码11011表示为二进制数是10010. 以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。 例 设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步？过程如何？ 解 初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326－141＝186，完整解法需要186步。 简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数， 对于N=141，得到N0=103；对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139.这个结果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。