设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使成立。则称函数在上的“均值”为。已知四个函数：①；②；③；④上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为１的函数是

题文

设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使（为常数）成立。则称函数在上的“均值”为。已知四个函数：①；②；③；④上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为１的函数是     ．（填入所有满足条件函数的序号） 题型：未知 难度：其他题型

答案

①③④

解析

根据在其定义域上均值为1的函数的定义，逐一对四个函数列出方程，解出y关于x的表达式，其中①③④在其定义域内有解，②在其定义域内无解，从而得出正确答案．解：①对于函数 ，定义域为 ，设 ，由 ，得 ，所以，所以函数是定义域上的“均值”为１的函数；②对于函数 ，定义域为 ，设  ,由得：   ，当时  ，  ，不存在实数 的值，使 ，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；③对于函数  ，定义域是 ，设  ，得  ，则 ，所以该函数是定义域上的均值为1的函数； ④对于函数 ，定义域为 ，设 ,由 ，得 ，因为 所以存在实数，使得 成立，所以函数在其定义域上是均值为1的函数.

考点

据考高分专家说，试题“设函数的定义域为，如果，存在唯一的，使（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）