设函数(Ⅰ) 当时，求函数的最大值；(Ⅱ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

题文

（本小题满分12分）设函数(Ⅰ) 当时，求函数的最大值；(Ⅱ)当，，方程有唯一实数解，求正数的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) 的极大值为，此即为最大值；(2) 。

解析

(1)依题意，知的定义域为(0，＋∞)，当时，，……………2分令＝0，解得．(∵)当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减．所以的极大值为，此即为最大值 ……………4分(2)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则．令，． 因为，， 所以(舍去)，，……  6分当时，，在(0，)上单调递减，当时，，在(，＋∞)单调递增当时，＝0，取最小值． 则既……………10分所以，因为，所以(*)设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程(*)的解为，即，解得………12分(直接看出x=1时，m=1/2但未证明唯一性的给3分)点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过研究函数的单调区间、最值情况，得出方程解的存在情况。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）设函数(Ⅰ) 当时，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）