本题12分）已知函数. (1)求的定义域；(2)在函数的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴； (3)当，b满足什么条件时，在上恒取正值.

题文

本题12分）已知函数. (1)求的定义域；(2)在函数的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴； (3)当，b满足什么条件时，在上恒取正值. 题型：未知 难度：其他题型

答案

(1) (0，＋∞).(2)函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.(3)当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.

解析

（1）由对数函数的真数大于零求解．（2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究．（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可．解 ：(1)由ax－bx>0，得()x>1，且a>1>b>0，得>1，所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋∞).(2)任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>0，bx1ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2).  故f(x1)>f(x2).所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数.假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，        则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾.故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴.(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1).  这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，   f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.点评：解决该试题的关键是利用导数的几何意义来表示切线的斜率，同时能利用对数的真数大于零得到定义域进而研究其性质。

考点

据考高分专家说，试题“本题12分）已知函数. (1)求的定义域.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）