已知函数求证：函数在上为单调增函数；设，求的值域； 对于中函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围．

题文

（16分）已知函数（1）求证：函数在上为单调增函数；（2）设，求的值域； （3）对于（2）中函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）见解析；（2）值域为；（3）的取值范围为。

解析

本试题主要是考查了函数的单调性和最值问题，以及函数与方程的思想的综合运用（1）根据已知关系式设出变量，作差，变形定号得到结论。（2）在第一问的基础上，可知分析函数的单调性得到值域。（（3）因为由（2）可知可知其图像，然后徐结合图像，设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，然后分析得到m的范围。（1），设是上的任意两个数，且，……2分则……4分因为，∴，∴即所以在上为增函数，                       …………………………6分（2），因为，所以，所以，即  …………………………8分又因为时，单调递增，单调递增，所以单调递增，所以值域为    …………………………10分（3）由（2）可知大致图象如右图所示，设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，设     ………12分①当有一个根为1时，，，此时另一根为适合题意； ………………13分②当没有根为1时，，得，∴∴的取值范围为                        …………………………16分

考点

据考高分专家说，试题“（16分）已知函数（1）求证：函数在上为.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）