已知定义在实数集R上的函数y=满足条件：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).求f(0)；(2) 求证：是奇函数；(3) 若时，，求在上

题文

已知定义在实数集R上的函数y=满足条件：对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求f(0)；(2) 求证：是奇函数；(3) 若时，，求在上的值域. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(0)=0；(2)证明见解析；(3)证明见解析；值域[-4，2]。

解析

本题考点是抽象函数及其运用，考查灵活赋值求函数值以及运用恒等式灵活变形证明函数的单调性，利用复合函数的单调性判断方程的根的个数，本题涉及到的考点较多，知识性与技巧性都很强，是知识完善结合的一个好题．（1）令令x=y=0，代入恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）即可求得．（2）通过赋值法可知函数的奇偶性（3）根据定义法证明函数的单调性然后，利用单调性得到值域。（1）f(0)=0；3分(2)证明略；9分(3)证明单调性 13分值域[-4，2]  15分

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在实数集R上的函数y=满足条件：.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）