已知函数．讨论的单调性；设，证明：当时，；若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：＜0

题文

（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1） 单调增加，在单调减少. （2）当.故当， （3）见解析。

解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解单调性和及证明不等式等知识的运用。（1）先求解然后求解 对于参数a分情况讨论得到单调区间。（2）构造函数则其导数为然后分析导数大于零或者小于零的解即可。（3）由（1）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为，这样结合可知分析得到结论。解：（1） （i）若单调增加.（ii）若且所以单调增加，在单调减少.  ………………4分（2）设函数则当.故当，   ………………8分（3）由（1）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（2）得从而由（I）知，   ………………12分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题满分12分）已知函数．（1）讨论.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）