已知函数若且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；求证：，…….

题文

（本小题14分）已知函数 （Ⅰ）若且函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）求证：，……. 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）见解析。

解析

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的极值，和不等式的恒成立问题，以及证明不等式。解：（Ⅰ）因为， x0，则，求解导数，判定函数单调性，得到极值。因为函数在区间（其中）上存在极值，得到参数k的范围。（Ⅱ）不等式，又，则 ，构造新函数,则 令，则，分析单调性得到证明。（Ⅲ）由（2）知：当时，恒成立，即，，令 ，则；可以证明。 解：（Ⅰ）因为， x0，则，当时，；当时，.所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值；……….2分因为函数在区间（其中）上存在极值，所以 解得；……….4分（Ⅱ）不等式，又，则 ，,则；……….6分令，则，，在上单调递增，，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以.  ；……….8分（Ⅲ）由（2）知：当时，恒成立，即，，令 ，则；……….10分所以 ，，……,n个不等式相加得即……….14分

考点

据考高分专家说，试题“（本小题14分）已知函数（Ⅰ）若且函数在.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）