对于函数f，若存在区间M=[a，b]，使得{y

题文

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的-个“好区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sinx；②f（x）=|2x-1|；③f（x）=x3-3x；④f（x）=lgx+l．其中存在“好区间”的函数是______．  （填入相应函数的序号） 题型：未知 难度：其他题型

答案

①函数f（x）=sinx在[-π2，π2]上是单调增函数，若函数在[-π2，π2]上存在“好区间”[a，b]，则必有sina=a，sinb=b．即方程sinx=x有两个根，令g（x）=sinx-x，g′（x）=cosx-1≤0在[-π2，π2]上恒成立，所以函数g（x）在[-π2，π2]上为减函数，则函数g（x）=sinx-x在[-π2，π2]上至多有一个零点，即方程sinx=x在[-π2，π2]上不可能有两个解，又因为f（x）的值域为[-1，1]，所以当x＜-π2或x＞π2时，方程sinx=x无解．所以函数f（x）=sinx没有“好区间”；②对于函数f（x）=|2x-1|，该函数在[0，+∞）上是增函数，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]时，f（x）∈[0，1]=M，所以M=[0，1]为函数f（x）=|2x-1|的一个“好区间”；③对于函数f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1）．当x∈（-1，1）时，f′（x）0．所以函数f（x）=x3-3x的增区间是（-∞，-1），（1，+∞），减区间是（-1，1）．取M=[-2，2]，此时f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2．所以函数f（x）=x3-3x在M=[-2，2]上的值域也为[-2，2]，则M=[-2，2]为函数的一个“好区间”；④函数f（x）=lgx+1在定义域（0，+∞）上为增函数，若有“好区间”则lga+1=a，lgb+1=b，也就是函数g（x）=lgx-x+1有两个零点．显然x=1是函数的一个零点，由g′(x)=1xln10-1＜0，得x＞1ln10，函数g（x）在(1ln10，+∞)上为减函数；g′(x)=1xln10＞0，得x＜1ln10．函数在（0，1ln10）上为增函数．所以g（x）的最大值为g（1ln10）＞g（1）=0，则该函数g（x）在（0，1ln10）上还有一个零点．所以函数f（x）=lgx+1存在“好区间”．故答案为②③④．

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“对于函数f（x），若存在区间M=[a，b.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）