已知向量m=(3，1)，向量n是与向量m夹角为π3的单位向量．求向量n；若向量n与向量q=(

题文

已知向量m=(3，1)，向量n是与向量m夹角为π3的单位向量．（1）求向量n；（2）若向量n与向量q=(-3，1)平行，与向量p=(3x2，x-y2)垂直，求t=y2+5x+4的最大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设n=（x，y），∵向量n是单位向量，∴x2+y2=1．∵向量n与向量m夹角为π3，∴cosπ3=3x+y2，∴3x+y=1，解方程组x2+y2=13x+y=0，得x=0，y=1，或x=32，y=-12．∴n=（0，1），或n=(32，-12)．（2）∵n=（0，1）和向量q=(-3，1)不平行，∴向量n=(32，-12)，向量n与向量q=(-3，1)平行，与向量p=(3x2，x-y2)垂直，∴32•3x2+(-12) •(x-y2)=0，∴3x2-x+y2=0．t=y2+5x+4=（-3x2+x）+5x+4=-3x2+6x+4，因为-3x2+x＞0所以0＜x＜13，所以当x=13时，t=-3x2+6x+4取最大值tmax=173．

解析

n

考点

据考高分专家说，试题“已知向量m=(3，1)，向量n是与向量m.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）