设a∈R，f为奇函数，f(2x)=a•4x+a

题文

设a∈R，f（x）为奇函数，f(2x)=a•4x+a-24x+1．（1）写出函数f（x）的定义域；（2）求a，并写出f（x）的表达式；（3）用函数单调性定义证明：函数f（x）在定义域上是增函数．（可能用到的知识：若x1＜x2，则0＜2x1＜2x2，0＜4x1＜4x2） 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意f(2x)=a22x+a-222x+1∴f(x)=a2x+a-22x+1（2分）故函数f（x）的定义域为R（4分）（2）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）对任意的x∈R都成立∴f（0）=0（7分）即a+a-2=0∴a=1（10分）所以f(x)=2x-12x+1=1-22x+1（11分）（3）对任意的x1，x2∈R且x1＜x2（14分）f(x1)-f(x2)=1-22x1+1-(1-22x2+1)=22x2+1-22x1+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)＜0（16分）即f（x1）＜f（x2）函数f（x）在R上单调递增（17分）

解析

a22x+a-222x+1

考点

据考高分专家说，试题“设a∈R，f（x）为奇函数，f(2x)=.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）