已知函数f=2x+1定义在R上．若f可以表示为一个偶函数g与一个奇函数h之和，求函数g，h的解析式；若F=

题文

已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，求函数g（x），h（x）的解析式；（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m2-m-1（m∈R），设h（x）=t，把F（x）表示为t的函数p（t）；（3）若关于的方程F（x）=m2-m+2在x∈[1，2]上有解，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，由①、②解得g(x)=f(x)+f(-x)2，h(x)=f(x)-f(-x)2．（2分）∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．∵g(-x)=f(-x)+f(x)2=g(x)，h(-x)=f(-x)-f(x)2=-h(x)．∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，把f（x）=2x+1代入求得，g(x)=f(x)+f(-x)2=2x+1+2-x+12=2x+12x，h(x)=f(x)-f(-x)2=2x+1-2-x+12=2x-12x．（6分）（2）由2x-12x=t，则t∈R，平方得t2=(2x-12x)2=22x+122x-2，∴g(2x)=22x+122x=t2+2，代入F（x）的解析式得，p（t）=t2+2mt+m2-m+1．（10分）（3）∵t=h（x）=2x-12x在区间[1，2]上单调递增，∴32≤t≤154．（12分）由F（x）=m2-m+2得t2+2mt-1=0∴m=12(1t-t)，令ϕ（t）=12(1t-t)(t∈[32，154])由题意得，m的取值范围就是函数ϕ（t）的值域．（14分）∵1t，-t在t∈[32，154]上均为减函数，故ϕ（t）在t∈[32，154]上单调递减，而ϕ(32)=-512ϕ(154)=-209120，∴函数ϕ（t）的值域为[-209120，-512]即m的取值范围为[-209120，-512]（16分）

解析

f(x)+f(-x)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2x+1定义在R上．（.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）