定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且仅当x=1时，f取得最大值．求a、b的值；若方程f(x)

题文

（理科）定义在R上的函数f(x)=x+bax2+1(a，b∈R，a≠0)是奇函数，当且仅当x=1时，f（x）取得最大值．（1）求a、b的值；（2）若方程f(x)+mx1+x=0在区间(-1，1)上有且仅有两个不同实根，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（-x）=-f（x）得b=0∴f(x)=xax2+1又由函数f（x）的定义域为R知a≥0当x≤0时，f(x)≤0当x＞0时，f(x)=xax2+1≤x2ax2=12a当且仅当ax2=1即x=1a时f(x)取得最大值∴1a=-即a=1综上a=1，b=0…（6分）（2）由xx2+1+mxx+1=0化简得x(mx2+x+m+1)=0∴x=0或mx2+x+m+1=0若0是方程mx2+x+m+1=0，则m=-1此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为x=1，不合题意∴方程mx2+x+m+1=0在区间（-1，1）上有且仅有一个非零实根．当m=0时，x=-1不合题意当m≠0时，分两种情况讨论①△=0，x=12m∈(-1，1)得m=-1-22②令h（x）=mx2+x+m+1则h（-1）•h（1）＜0且h（0）≠0解得-1＜m＜0综上所述实数m的取值范围为(-1，0)∪{-1-22}…（13分）

解析

xax2+1

考点

据考高分专家说，试题“（理科）定义在R上的函数f(x)=x+b.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）