已知函数y=f是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f=2x

题文

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x-x2．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）是否存在实数a，b（a≠b），使得y=f（x）在x∈[a，b]上的值域为[1b，1a]，若存在，求出实数a，b的值； 若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，根据奇函数性质：f（x）=-f（-x）当x＜0时，-x＞0，所以当x＜0时的解析式为：f（x）=-f（-x）=2x+x2∵f（0）=0∴f(x)=2x-x2，x＞0.2x+x2，x≤0.（2）由b＞a1a＞1b⇒ab＞0．若a＞0，b＞0．情形一 a＜1＜b：f（x）=2x-x2的最大值为1．得a=1（舍）．情形二 a＜b＜1：f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，又1a＞1（不符）情形三 1≤a＜b：[a，b]上单调减得f(a)=1af(b)=1b⇒a=1b=1+52（符合）若a＜0，b＜0，同理可得a=-1-52，b=-1

解析

2x-x2，x＞0.2x+x2，x≤0.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）