已知与曲线C：x2+y2

题文

已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．（1）求证：若曲线C与直线l相切，则有（a-2）（b-2）=2；（2）求线段AB中点的轨迹方程；（3）求△AOB面积的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知A（a，0），B（0，b），∴直线l方程为xa+yb=1，即bx+ay-ab=0曲线C表示一个圆，圆心C（1，1），半径r=1…（2分）∵直线与圆相切，∴|a+b-ab|a2+b2=1，…（4分）两边平方整理得ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2…（5分）（2）设线段AB中点为M（x，y），由中点坐标公式得x=a2＞1，y=b2＞1，即…（7分）a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2得（2x-2）（2y-2）=2…（8分）整理得AB中点M的轨迹方程为(x-1)(y-1)=12(x＞1，y＞1)…（9分）（3）S△AOB=12ab=12[-2+2(a+b)]=-1+a+b=（a-2）+（b-2）+3≥3+2(a-2)•(b-2)=3+22…（11分）（当且仅当a-2=b-2，又（a-2）（b-2）=2，即a=b=2+2时取得等号）…（12分）故△AOB面积的最小值为3+22…（13分）

解析

xa

考点

据考高分专家说，试题“已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）