已知函数f(x)=3x

题文

已知函数f(x)=3x-13x+1．（1）证明f（x）为奇函数；（2）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明；（3）求f（x）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称∵f（-x）=3-x-13-x+1=1-3x3x+1=-f（x）∴函数f（x）为奇函数；（2）函数f（x）在R上单调递增，理由如下：在R中任取x1＜x2，则3x1-3x2＜0，3x1+1＞0，3x2+1＞0，∴f（x1）-f（x2）=3x1-13x1+1-3x2-13x2+1=（1-23x1+1）-（1-23x2+1）=2(3x1-3x2)(3x1+1)(3x2+1)＜0∴f（x1）＜f（x2）∴函数f（x）在R上单调递增（3）∵f(x)=3x-13x+1=1-23x+1∵3x＞0，∴3x+1＞1，∴0＜23x+1＜2∴-2＜-23x+1＜0∴-1＜1-23x+1＜1故f（x）的值域为（-1，1）

解析

3-x-13-x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=3x-13x+1．（1.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）