设f的定义域为D，若f满足下面两个条件，则称f为闭函数，[a，b]为函数f的闭区间．①f在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使

题文

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数，[a，b]为函数f（x）的闭区间．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．（1）写出f（x）=x3的一个闭区间；（2）若f（x）=13x3-k为闭函数求k取值范围？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[0，1]，[-1，1]，[-1，0]（不必加以说明写出即可）----（4分）（2）∵f（x）=13x3-k∴f′（x）=x2，∵f′（x）≥0恒成立故f（x）=13x3-k在定义域R上为增函数----（5分）若f（x）=13x3-k为闭函数则f（x）=13x3-k=x 有至少两个不同的解----（6分）即k=13x3-x有至少两个不同的解令g（x）=13x3-x则g′（x）=x2-1令g′（x）=0，则x=±1∵g（-1）=23，g（1）=-23即函数g（x）=13x3-x的极大值为23，极小值为-23故k∈[-23，23]------------（10分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）