设f(x)=ax2+bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f的定义域和值域相同．

题文

设f(x)=ax2+bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若a=0，则对于每个正数b，f(x)=bx的定义域和值域都是[0，+∞）故a=0满足条件--------------（4分）（2）若a＞0，则对于正数b，f(x)=ax2+bx的定义域为D=(-∞，-ba]∪[0，+∞)，但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，即a＞0不合条件；-----------（4分）（3）若a＜0，则对正数b，定义域D=[0，-ba](f(x))max=b2-a，f（x）的值域为[0，b2-a]，则-ba=b2-a⇔a＜02-a=-a⇔a=-4--（5分）综上所述：a的值为0或-4----------（1分）

解析

bx

考点

据考高分专家说，试题“设f(x)=ax2+bx，求满足下列条件.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）