已知A、B、C为△ABC的三个内角，设f=sin22A+cos22B

题文

已知A、B、C为△ABC的三个内角，设f（A，B）=sin22A+cos22B-3sin2A-cos2B+2．（1）当f（A，B）取得最小值时，求C的大小；（2）当C=π2时，记h（A）=f（A，B），试求h（A）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量p，使得函数h（A）的图象按向量p平移后得到函数g（A）=2cos2A的图象？若存在，求出向量p的坐标；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）配方得f （A，B）=（sin2A-32）2+（cos2B-12）2+1，∴[f （A，B）]min=1，当且仅当sin2A=32cos2B=12   时取得最小值．在△ABC中，sin2A=32cos2B=12⇔A=π6B=π6 或A=π3B=π6故C=2π3或π2．…（6分）（2）C=π2⇔A+B=π2，于是h（A）=f(A，B)=sin22A+cos22B-3sin2A-cos2B+2=sin22A+cos22[π2-A]-3sin2A-cos2[π2-A]+2=cos2A-3sin2A+3=2cos（2A+π3）+3．∵A+B=π2，∴0＜A＜π2．…（11分）（3）∵函数h（A）在区间(0，  π3]上是减函数，在区间[π3，  π2)上是增函数；而函数g（A）=2cos2A在区间(0，  π2)上是减函数．∴函数h（A）的图象与函数g（A）=2cos2A的图象不相同，从而不存在满足条件的向量p…（16分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知A、B、C为△ABC的三个内角，设f.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）