已知函数f=xlnx，g=f+f，m为正的常数．求函数g的定义域；求g的单调区间，并指明单调性；若a＞

题文

已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m为正的常数．（1）求函数g（x）的定义域；（2）求g（x）的单调区间，并指明单调性；（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）根据题意，f（x）的定义域为{x|x＞0}，要使g（x）有意义，则x＞0m-x＞2，那么g（x）的定义域为{x|a＜x＜m}．（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）则g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1=lnxm-x由g'（x）＞0，得xm-x＞1，解得：m2＜x＜m由g'（x）＜0得：0＜xm-x＜1解得：0＜x＜m2∴g（x）在[m2，m)上为增函数，在(0，m2}上为减函数（3）要证f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．只须证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2而在（2）中，取m=a+b，则g（x）=f（x）+f（a+b-x）则g（x）在[a+b2，a+b）上为增函数，在(0，a+b2]上为减函数．∴g（x）的最小值为：g（a+b2）=f（a+b2）+f（a+b-a+b2）=2f（a+b2）=（a+b）lna+b2=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2那么g（a）≥g（a+b2）得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

解析

x＞0m-x＞2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）