已知函数f=ex•g，其中g=ax2

题文

已知函数f（x）=ex•g（x），其中g（x）=ax2-2x-2．（1）若存在x∈R，使得g（x）＞0成立，求实数a的取值范围；（2）求函数y=f（|sinx|）的值域． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）存在x∈R，使得g（x）＞0，即存在x∈R，使得ax2-2x-2＞0，当a＞0时，满足要求；当a=0时，满足要求；当a＜0时，△＞0，解得-12＜a＜0综上得，a＞-12（4分）（2）f（x）=ex•g（x）=ex•（ax2-2x-2）∴f′（x）=（ex）′•（ax2-2x-2）+ex•（ax2-2x-2）′=ex•（ax2-2x-2）+ex•（2ax-2）=ex•[ax2+（2a-2）x-4]设|sinx|=t，（0≤t≤1），则转化为求函数y=f（t），（0≤t≤1）的值域．当a=0时，f′（x）=-2ex•（x+2）＜0，此时函数f（t）在[0，1]上为减函数，∴函数f（t）的值域为[f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]当a＜0时，f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-2a)(x+2)＜0此时函数f（t）在[0，1]上为减函数，∴函数f（t）的值域为[f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]（6分）当a＞0时，f′(x)=ex•[ax2+(2a-2)x-4]=a•ex•(x-2a)(x+2)令f′（x）=0，解得x=2a或x=-2（舍）．当x变化时，f（x）与f′（x）的变化情况如下表： 若2a≥1，即0＜a≤2时，函数f（t）在[0，1]上为减函数．∴函数f（t）的值域为[f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]若0＜2a＜1，即a＞2时，函数f（t）在(0，2a)上递减，在(2a，1)上递增∴ymin=f(2a)=-2e2a函数f（t）在[0，1]上的最大值为f（0）与f（1）中的较大者∵f（0）=-2，f（1）=（a-4）e，∴f（1）-f（0）=（a-4）e+2∴当a＞4-2e时，f（1）＞f（0），此时ymax=f（1）=（a-4）e；当a=4-2e时，f（1）=f（0），此时ymax=f（0）=f（1）=-2；当2＜a＜4-2e时，f（1）＜f（0），此时ymax=f（0）=-2（13分）综上，当a≤2时，函数f（|sinx|）的值域为[（a-4）e，-2]；当2＜a≤4-2e时，函数f（|sinx|）的值域为[-2e2a，-2]；当a＞4-2e时，函数f（|sinx|）的值域为[-2e2a，(a-4)e]．（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ex•g（x），其中g.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）