设函数f=lg．若f的定义域是R，求实数a的取值范围；若f的值域是R，求实数a的取值范围．

题文

设函数f（x）=lg（ax2+2x+1）．（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围；（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）若f（x）=lg（ax2+2x+1）的定义域是R，∴u=ax2+2x+1＞0恒成立．当 a=0或a＜0不合题意，∴a＞0△=4-4a＜0，解得 a＞1，故实数a的取值范围是（1，+∞）．（2）若f（x）的值域是R，则函数 u=ax2+2x+1能够取遍所有的正数．当a＜0时不合题意；a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数．a＞0时，由其判别式△=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．综上可得，当0≤a≤1时f（x）的值域是R．

解析

a＞0△=4-4a＜0

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=lg（ax2+2x+1）.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）