已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)=

题文

已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)=-ax+b+axlnx，f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数)，(Ⅰ)求实数b的值；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)当a=1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[，e])都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：(Ⅰ)由f(e)=2得b=2； (Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=-ax+2+axlnx，从而f'(x)=alnx，因为a≠0，故：(1)当a＞0时，由f'(x)＞0得x＞1，由f′(x)＜0得0＜x＜1； (2)当a＜0时，由f'(x)＞0得0＜x＜1，由f′(x)＜0得x＞1；综上，当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，+∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，+∞)，单调递减区间为(0，1)。 (Ⅲ)当a=1时，f(x)=-x+2+xlnx，f'(x)=lnx，由(Ⅱ)可知，当x在区间(，e)内变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表：又，所以函数f(x)()的值域为[1，2]，据此可知，若则对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f(x)()都有公共点；并且对每一个t∈(-∞，m)∪(M，+∞)，直线y=t与曲线y=f(x)()都没有公共点．综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f(x)()都有公共点。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知a，b为常数，且a≠0，.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）