定义在R上的函数f满足对任意x、y∈R恒有f=f+f，且f不恒为0。求f和f的值；试判断f

题文

定义在R上的函数f（x）满足对任意x、y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0。（1）求f（1）和f（-1）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）-f（2-x）≤0的x的取值集合。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）∴f（1）=0令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0。（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得 f（-x）=f（x）+f（-1）又f（-1）=0，∴f（-x）=f（x），又f（x）不恒为0，∴f（x）为偶函数。（3）由f（x+1）-f（2-x）≤0，知f（x+1）≤f（2-x）又由（2）知f（x）=f（|x|）， ∴f（|x+1|）≤f（|2-x|）又∵f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴|x+1|≤|2-x|故x的取值集合为。

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“定义在R上的函数f（x）满足.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）