设函数f(x)=x3+ax2+bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于M(1，4)。求f(x)=x3+ax2+bx在区间(0，4]上的最大值与最小值；

题文

设函数f(x)=x3+ax2+bx(x＞0)的图象与直线y=4相切于M(1，4)。（Ⅰ）求f(x)=x3+ax2+bx在区间(0，4]上的最大值与最小值；（Ⅱ）设存在两个不等正数s，t(s＜t)，当x∈[s，t]时，函数f(x)=x3+ax2+bx的值域是[ks，kt]，求正数k的取值范围。 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（Ⅰ）f′(x)=3x2+2ax+b，依题意，有：，即，解得：,所以，f(x)=x3-6x2+9x，f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)，由f′(x)=0可得x=1或x=3， f′(x)，f(x)在区间(0，4]上的变化情况为：

x

0

（0，1）

1

（1，3）

3

（3，4）

4

f′(x)

 

+

0

-

0

+

 

f(x)

0

增函数

4

减函数

0

增函数

4

所以函数f(x)=x3-6x2+9x在区间（0，4]上的最大值是4，最小值是0。 （Ⅱ）由函数的定义域是正数知，s＞0，故极值点(3，0)不在区间[s，t]上； ①若极值点M(1，4)在区间[s，t]上，此时0＜s≤1≤t＜3，故有(i)或(ii)，(i)由k=，1≤t＜3知，k∈(，4]，当且仅当t=1时，k=4；再由k=(s-3)2，0＜s≤1知，k∈[4，9)，当且仅当s=1时，k=4； 由于s≠t，故不存在满足要求的k值． (ii)由，及0＜s≤1可解得2≤t＜3，所以k=，2≤t＜3知，k∈(，2]；即当k∈(，2]时，存在t=∈[2，3)，∈(0，1]，且f(s) ≥4s=f(t) ＞f(t)，满足要求。②若函数f(x)在区间[s，t]上单调递增，则0＜s＜t＜1或3＜s＜t，且，故s，t是方程x2-6x+9=k的两根，由于此方程两根之和为3，故[s，t]不可能同在一个单调增区间内； ③若函数f(x)在区间[s，t]上单调递减，则1＜s＜t＜3，，两式相减并整理得s2(s-3)3=t2(t-3)2，由1＜s＜t＜3知s(s-3)=t(t-3)，即s+t=3，再将两式相减并除以s-t，得 -k=(s2+st+t2)-6(s+t)+9=(s+t)2-6(s+t)+9-st=-st，即k=st，所以s，t是方程x2-3x+k=0的两根，令g(x)=x2-3x+k， 则，解得2＜k＜，即存在s=，t=满足要求。综上可得，当＜k＜时，即k∈（，）时，存在两个不等正数s，t(s＜t)，使x∈[s，t]时，函数f(x)=x3-6x2+9x的值域恰好是[ks，kt]。

解析

x

0

（0，1）

1

（1，3）

3

（3，4）

4

f′(x)

 

+

0

-

0

+

 

f(x)

0

增函数

4

减函数

0

增函数

4

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x3+ax2+bx.....”主要考查你对 [函数的定义域、值域 ]考点的理解。 函数的定义域、值域

定义域、值域的概念：

自变量取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。

1、求函数定义域的常用方法有：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零等；（2）根据实际问题的要求确定自变量的范围；（3）根据相关解析式的定义域来确定所求函数自变量的范围；（4）复合函数的定义域：如果y是u的函数，而u是x的函数，即y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量，设f（x）的定义域是x∈M，g（x）的定义域是x∈N，求y=f[g（x）]的定义域时，则只需求满足 的x的集合。设y=f[g（x）]的定义域为P，则  。

 3、求函数值域的方法：

（1）利用一些常见函数的单调性和值域，如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数，形如 （a，b为非零常数）的函数；（2）利用函数的图象即数形结合的方法；（3）利用均值不等式；（4）利用判别式；（5）利用换元法（如三角换元）；（6）分离法：分离常数与分离参数两种形式；（7）利用复合函数的单调性。（注：二次函数在闭区间上的值域要特别注意对称轴与闭区间的位置关系，含字母时要注意讨论）