解答下列问题：若f=2x2+1，求f；若2f

题文

解答下列问题：（1）若f（x+1）=2x2+1，求f（x）；（2）若2f（x）-f（-x）=x+1，求f（x）；（3）若函数f（x）=xax+b，f（2）=1，且方程f（x）=x有唯一解，求f（x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令x+1=t，则x=t-1，所以f（t）=2（t-1）2+1=2t2-4t+3，即f（x）=2x2-4x+3；（2）由2f（x）-f（-x）=x+1①，取x=-x，代入该式得：2f（-x）-f（x）=-x+1②，联立①②得：f(x)=13x+1；（3）因为函数f（x）=xax+b，由f（2）=1得：22a+b=1③由方程f（x）=x有唯一解，即xax+b=x有唯一解，也就是ax2+（b-1）x=0有唯一解，当a=0时，由③得b=2．当a≠0时，则有（b-1）2=0，所以b=1，代入③得：a=12所以f（x）=x2或f（x）=2xx+2．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“解答下列问题：（1）若f（x+1）=2x.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。