已知f(x)=lnx，g(x)=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f，g的图象都相切于点．求直线l的方程及g的解析式；

题文

已知f(x)=lnx，g(x)=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）．（1）求直线l的方程及g（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的极大值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）直线l是函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线，故其斜率k=f′（1）=1，∴直线l的方程为y=x-1．…（2分）又因为直线l与g（x）的图象相切，且切于点（1，0），∴g(x)=13x3+12x2+mx+n在点（1，0）的导函数值为1．∴g(1)=0g′(1)=1，∴m=-1n=16，…（4分）∴g(x)=13x3+12x2-x+16…（6分）（2）∵h（x）=f（x）-g′（x）=lnx-x2-x+1（x＞0）…（7分）∴h′(x)=1x-2x-1=1-2x2-xx=-(2x-1)(x+1)x…（9分）令h′（x）=0，得x=12或x=-1（舍）…（10分）当0＜x＜12时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＞12时，h′（x）＜0，h（x）递减…（12分）因此，当x=12时，h（x）取得极大值，∴[h（x）]极大=h(12)=ln12+14…（14分）

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=lnx，g(x)=13x3.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。