已知定义在R上的函数f同时满足：f+f=2fcos2x2+4asin2x2；f

题文

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：（1）f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2（x1，x2∈R，a为常数）；（2）f（0）=f（π4）=1；（3）当x∈[0，π4]时，|f（x）|≤2求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）在f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2中，分别令x1=0x2=x；x1=π4+xx2=π4；x1=π4x2=π4+x得f(x)+f(-x)=2cos2x+4asin2x①f(π2+x)+f(x)=2a②f(π2+x)+f(-x)=2cos(π2+2x)+4asin2(π4+x)③   由①+②-③，得2f（x）=2a+2cos2x-2cos（π2+2x）+4a（1-cos2x2）-4a（1-cos2(π4+x)2）=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）∴f（x）=a+2（1-a）sin（2x+π4）（Ⅱ）当x∈[0，π4]时，则π4≤2x≤3π4，∴sin（2x+π4）∈[22，1]．∵|f（x）|≤2，（1）当a＜1时，-2≤a+2[22（1-a）]≤f（x）≤a+2（1-a）≤2．即1-2≤（1-2）a≤2-2，解得-2≤a≤1，故a的取值范围[-2，1）．（2）当a≥1时，-2≤a+2（1-a）≤f（x）≤1．即-2-2≤（1-2）a≤1-2，解得1≤a≤4+32．综上，满足条件a的取值范围[-2，4+32]．

解析

x1=0x2=x

考点

据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f（x）同时满足：（.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。