已知函数f=2f′ex

题文

已知函数f（x）=2f′（1）ex-1-x，e≈2.7．（1）已知函数f（x）的解析式及单调区间；（2）若对任意的x∈[12，+∞)，e2f(x)≥(a-e2)x+1恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）对f（x）求导，得f′（x）=2f′（1）ex-1-1．令x=1，得f′（1）=2f′（1）-1，解得f′（1）=1．从而f（x）=2ex-1-x．f′（x）=2ex-1-1．f′（x）＞0⇔2ex-1-1＞0⇔x-1＞ln12⇔x＞1-ln2；f′（x）＜0⇔2ex-1-1＜0⇔x＜1-ln2．所以，f（x）的增区间为（1-ln2，+∞），减区间为（-∞，1-ln2）．（2）当x≥12时，e2f(x)≥(a-e2)x+1⇔e2(2ex-1-x)≥(a-e2)x+1⇔ex≥ax+1⇔a≤ex-1x．令g（x）=ex-1x(x≥12)，则g′(x)=(x-1)ex+1x2．令h（x）=(x-1)ex+1(x≥12)，则h′（x）=xex＞0．所以，函数h（x）在[12，+∞）上单调递增．所以h(x)≥h(12)=1-e2=4-e2＞0．所以当x≥12时，g′(x)=h(x)x2＞0．所以，g（x）=ex-1x在[12，+∞）上单调递增.g(x)min=g(12)=2(e-1)．由题意，a≤2(e-1)．故所求实数a的取值范围是a≤2(e-1)．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=2f′（1）ex-1-.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。