已知函数f(x)=x2+2x+alnx，(a∈R)若a=

题文

已知函数f(x)=x2+2x+alnx，(a∈R)（1）若a=-4，求函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（3）记函数g（x）=x2f′（x），若g（x）的最小值是-52，求f（x）的解析式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=-4时，f(x)=x2+2x-4lnx，（x＞0）f′(x)=2x -2x2-4x=2x3-4x-2x2=2(x2-x-1)(x+1)x2令f′（x）=0，则x=1+52∵x∈（0，1+52）时，f′（x）＜0，∵当x∈（1+52，+∞）时，f′（x）＞0，∴（0，1+52）为函数f(x)=x2+2x-4lnx的单调递减区间，∴（1+52，+∞）为函数f(x)=x2+2x-4lnx的单调递增区间；（2）∵f′（x）=2x3+ax-2x2若函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立即2x3+ax-2≥0在[1，+∞）上恒成立即a≥1-x4x在[1，+∞）上恒成立令h（x）=1-x4x，则h′（x）=-3x4-1x2＜0恒成立故h（x）=1-x4x在[1，+∞）上单调递减当x=1时，h（x）取最大值0故a≥0，即实数a的取值范围为[0，+∞）（3）g（x）=x2f′（x）=2x3+ax-2则g′（x）=6x2+a，当a≥0时，g′（x）≥0恒成立此时g（x）在定义域（0，+∞）上无最小值当a＜0时，令g′（x）=6x2+a=0则x=-a6∵x∈（0，-a6）时，f′（x）＜0，∵当x∈（-a6，+∞）时，f′（x）＞0，∴（0，-a6）为函数g（x）的单调递减区间，∴（-a6，+∞）为函数g（x）的单调递增区间；当x=-a6时，g（x）的最小值g（-a6）=2-a63+a-a6-2=-52，解得a=-32∴f(x)=x2+2x-32lnx

解析

2x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+2x+alnx，.....”主要考查你对 [函数解析式的求解及其常用方法 ]考点的理解。 函数解析式的求解及其常用方法

函数解析式的常用求解方法：

（1）待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）：若已知f（x）的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得f（x）的表达式。待定系数法是一种重要的数学方法，它只适用于已知所求函数的类型求其解析式。 （2）换元法（注意新元的取值范围）：已知f（g（x））的表达式，欲求f（x），我们常设t=g（x），从而求得，然后代入f（g（x））的表达式，从而得到f（t）的表达式，即为f（x）的表达式。（3）配凑法（整体代换法）：若已知f（g（x））的表达式，欲求f（x）的表达式，用换元法有困难时，（如g（x）不存在反函数）可把g（x）看成一个整体，把右边变为由g（x）组成的式子，再换元求出f（x）的式子。（4）消元法（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 （5）赋值法（特殊值代入法）：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。